Komplexe Zahlen haben eine reale und eine imaginäre Komponente und werden oft in der Form �+��
a+bi dargestellt, wobei �
a die reale Komponente und �
b die imaginäre Komponente ist und �
i die imaginäre Einheit ist (�2=−1
i2
=−1).
Die Lösung für die Wurzel einer komplexen Zahl �=�+��
z=a+bi kann durch verschiedene Methoden erreicht werden, aber eine häufig verwendete Methode ist die Polarform. In der Polarform wird die komplexe Zahl �
z in Form von Radius �
r und Winkel �
θ dargestellt.
Der Radius �
r einer komplexen Zahl �
z ist �=�2+�2
r=a2
+b2
, und der Winkel �
θ ist gegeben durch �=arctan(��)
θ=arctan(a
b
).
Sobald �
z in Polarform �(cos(�)+�sin(�))
r(cos(θ)+isin(θ)) dargestellt ist, können wir die Wurzel durch Anwenden der Formel für die Wurzel in der Polarform berechnen.
Die Wurzel einer komplexen Zahl �
z in Polarform �(cos(�)+�sin(�))
r(cos(θ)+isin(θ)) ist gegeben durch:
�=�(cos(�+2��2)+�sin(�+2��2))
z
=r
(cos(2
θ+2kπ
)+isin(2
θ+2kπ
))
für �=0,1
k=0,1.
Diese Formel gibt uns die beiden Quadratwurzeln einer komplexen Zahl, da komplexe Zahlen in der Regel zwei Quadratwurzeln haben.
Wenn wir diese Formel auf die gegebene komplexe Zahl anwenden, erhalten wir die Quadratwurzeln der Zahl. Die Addition von 2��
2kπ in der Formel berücksichtigt die Periodizität der trigonometrischen Funktionen und liefert alle möglichen Werte für die Wurzel.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! Gute Nacht!
Gruss XCom99
