Kik meint nämlich, da ich Studentin bin und wohl angeblich eh bald Semesterferien habe, steht mir kein Resturlaub zu. Auch nicht ausgezahlt.
Diese Aussage ist selbstverständlich völliger Blödsinn!
Dein Status als Studentin - und die Tatsache, dass Du Semesterferien hast - hat aber auch rein gar nichts mit Deinen Ansprüchen nach dem Bundesurlaubsgesetz BUrlG zu tun!
Da Dein Arbeitsverhältnis bei seiner Beendigung am 31.07.2023 länger als 6 Monate in diesem Kalenderjahr bestanden haben wird, hast Du Anspruch auf den vollen (anteilig entsprechend Deiner 3-Tage-Woche) Jahresurlaub - wie Du selbst schon richtig festgestellt hast.
Das ergibt sich aus dem Bundesurlaubsgesetz BUrlG § 4 "Wartezeit" in Verbindung mit § 5 "Teilurlaub" Abs. 1 (Ausschluss der Bedingungen nach den Buchstaben a - c, die formulieren, wann nur ein zeitanteiliger Anspruch auf den Urlaub besteht, was für Dich also nicht zutrifft).
Diese Regelung betrifft zunächst einmal nur den gesetzlichen Urlaubsanspruch - und der beträgt 24 Werktage - entsprechend einer 6-Tage-Woche, also 20 Arbeitstage bei einer 5-Tage-Woche, 16 Arbeitstage bei einer 4-Tage-Woche, 12 Arbeitstage bei einer (wie bei Dir) 3-Tage Woche.
Woher die 21 Tage als angeblich gesetzlicher Mindesturlaub kommen, ist mir allerdings schleierhaft; sie beziehen sich mit Sicherheit aber nicht auf Deine 3-Tage-Woche, denn das würde einen Urlaubsanspruch von 7 Wochen bedeuten (was ziemlich unrealistisch ist).
Ausgehend vom gesetzlichen Urlaubsanspruch von 24 Werktagen (bei Dir von 12 Arbeitstagen) und abzüglich der bereits genommenen 10 Tage, hättest Du also noch einen Restanspruch von 2 Tagen (24 ./. 6 * 3 = 12 - 10 = 2).
Solltest Du aber mit 21 Tagen bei Deiner 3-Tage-Woche tatsächlich mehr als den gesetzlichen Mindesturlaub von 24 Werktagen (entsprechend einer 6-Tage-Woche, oder 20 Arbeitstagen entsprechend einer 5-Tage-Woche, 16 Arbeitstagen entsprechend einer 4-Tage-Woche usw.) haben, was ich allerdings nicht glauben kann, dann kommt es für diesen Fall darauf an, ob dazu etwas - und wenn ja: was? - einzelvertraglich oder in einem eventuell anzuwendenden Tarifvertrag vereinbart wurde oder ob es eine Unterscheidung zwischen gesetzlichem und zusätzlich gewährtem Urlaub gibt (z.B. "Der Arbeitnehmer erhält neben dem gesetzlichen Urlaub von ... Tagen einen weiteren Urlaub von .... Tagen."). Ohne eine entsprechende Vereinbarung oder differenzierende Vertragsformulierung hast Du dann auch Anspruch auf den zusätzlich gewährten Urlaub, in Deinem Fall also auch auf die restlichen 11 Tage.
Wenn es aber - wenn zusätzlicher Urlaub über den gesetzlichen hinaus gewährt wurde - eine Vereinbarung zu einer zeitanteiligen Berechnung ("Zwölftelung") oder eine vertragliche Unterscheidung zwischen gesetzlichem und zusätzlichen gewährtem Urlaub gibt, dann darf zwar der Anspruch auf 1/12 für jeden vollen Beschäftigungsmonat reduziert, der gesetzliche Urlaubsanspruch von 24 Werktagen (6-Tage-Woche) bzw. 20 Arbeitstagen (5-Tage-Woche) - bei Dir also 12 Tage bei der 3-Tage-Woche - aber nicht unterschritten werden, der auf jeden Fall erhalten bleibt. Bei einer Zeitanteiligen Berechnung (7/12 von 21 Tagen) hättest Du dann also einen Gesamtanspruch von 12,25 Tagen, abzüglich 10 genommener, bleiben 2,25 Tage, die "minutengenau ausgeglichen werden müssten.
Diese beiden obigen - kursiv gesetzten - Absätze betreffen (wie schon gesagt) nur den unwahrscheinlichen Fall, dass Du bei Deiner 3-Tage Woche tatsächlich einen Anspruch auf 21 Urlaubstage haben solltest!
Wenn Du Dein Arbeitsverhältnis beendest und Du einen Dir noch zustehenden Urlaub nicht mehr nehmen kannst (aus wirklich dringenden betrieblichen oder persönlichen - z.B. Erkrankung - Gründen), muss er Dir ausgezahlt werden (BUrlG § 7 "Zeitpunkt, Übertragbarkeit und Abgeltung des Urlaubs" Abs. 4).
Nimmst Du den Anspruch auf den gesamten Jahresurlaub wahr, hast Du allerdings keinen Anspruch mehr in diesem Kalenderjahr bei einem neuen Arbeitgeber - es sei denn, einen zeitanteiligen auf einen zusätzlichen Urlaubsteil, wenn der neue Arbeitgeber Dir mehr Urlaub gewährt als der alte.
Es ist etwas komplex wegen Deiner Aussage, Du hättest bei Deiner 3-Tage-Woche einen Anspruch auf 21 Tage Urlaub. Solltest Du noch Fragen haben: bitte sehr.
Nachtrag:
Wenn Du Forderungen gegen KiK geltend machen willst, musst Du Fristen beachten.
Wenn es keine einzel- oder tarifvertraglich vereinbarte Ausschlussfrist für Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis gibt (einzelvertraglich mindestens 3 Monate, tarifvertraglich auch kürzer möglich, meist aber 3 oder zweistufig 6 Monate ab Fälligkeit einer Forderung), nach deren Verstreichen ab Fälligkeit diese Forderung verwirkt ist, gilt dafür die gesetzliche Verjährungsfrist von 3 Jahren nach dem Bürgerlichen Gesetzbuch BGB § 195 "Regelmäßige Verjährungsfrist", für Forderungen aus 2023 also bis zum 31.12.2026; danach kann - anders als bei der Ausschlussfrist - die Forderung zwar immer noch geltend gemacht, vom Schuldner aber mit der Einrede der Verjährung abgewehrt werden.