afaik: Der brief wird zunächst zur Postverteilstelle deines alten Wohnorts gebracht. Dort gibt es pro Bezirk und Straße Fächer in die die Briefe eingeordnet werden. Wenn du einen Nachsendeantrag hast, wird dieser in dieses Fach gelegt und sobald ein Brief ankommt, sieht der auszutragende Postbote, dass du einen Nachsendeantrag hast.
Er verteilt den Brief dann neu, bzw. versieht ihn mit der neuen Adresse. Der Absender bekommt davon nichts mit. Es sei denn der Postbote übersieht den Nachsendeauftrag, will ihn austragen und merkt vor Ort, dass du dort nicht mehr wohnst. Dann geht der Brief als unzustellbar zurück. Sollte aber nicht passen.
So war es zumindest vor ca. 10 Jahren als ich dort mal während des Studiums ausgeholfen habe. Keine Ahnung ob sich da mittlerweile was geändert hat, bzw. die Digitalisierung Einzug bekommen hat.