Matheaufgaben?

1 Antwort

PWolff
15.01.2025, 15:08

1.:

a) p = Ortsvektor(B) - Ortsvektor(A) = (3|-2|-1) - (1|2|3)

(bitte selbst ausrechnen)

usw.

b) Wenn z. B. Vektor v = (4|5|6) ist, dan ist

3 * v = ( 3*4 | 3*5 | 3*6 )

Wenn zusätzlich w = (7|8|9) ist, dann ist

2 * w = ( 2*7 | 2*8 | 2*9 )

und

3 * v - 2 * w =( 3*4 - 2*7 | 3*5 - 2*8 | 3*6 - 2*9 )

c) Um -p zu erhalten, drehst du alle Vorzeichen der Koordinaten von p um.

Von diesem Vektor s = -p berechnest du die Länge |s|.

|s| = Wurzel(s · s)

Einheitsvektor e_s in Richtung von s:

e_s = s / |s|

v · v ist dabei das Skalarprodukt. Mit dem v von oben ist

v · v = 4 * 4 + 5 * 5 + 6 * 6

sowie

v · w = 4 * 7 + 5 * 8 + 6 * 9

d) Zwei Vektoren a und b sind genau dann orthogonal zueinander (stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn

a · b = 0

ist. Also die Skalarprodukte p · q, p · r, q · r ausrechnen und jeweils schauen, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2.:

a) ABCD ist genau dann ein Parallelogramm, wenn

Ortsvektor(B) - Ortsvektor(A) = Ortsvektor(C) - Ortsvektor(D)

bzw.

Ortsvektor(D) - Ortsvektor(A) = Ortsvektor(C) - Ortsvektor(B)

ist. Damit erhältst du die 3 notwendigen Gleichungen für die 3 Unbekannten.

b) Mittelpunkt: Ortsvektor(M1) = (Ortsvektor(A) + Ortsvektor(B)) / 2

usw.

Vielleicht leichter verständlich: von A aus geht man den halben Weg nach B:

Ortsvektor(M1) = Ortsvektor(A) + 1/2 (Ortsvektor(B) - Ortsvektor(A))

Kommt aber auf dasselbe hinaus (kann man leicht nachrechnen).

c) Ortsvektor(M2) - Ortsvektor(M1) = ...

(Bitte Lücke selbst füllen)

3.:

Welche Darstellungen kennst du für Geradengleichungen?

a) Zwei Darstellungen bieten sich sofort an: Punkt-Richtungs-Form.

g(r) = A + r * (B - A)

bzw.

g(s) = B + s * (A - B)

Wenn du nicht über irgendwelche Skalarprodukte gehen willst (was wahrscheinlich erwartet wird), kannst du natürlich auch einen beliebigen Richtungsvektor mit einer Konstanten ungleich 1 multiplizieren.

b) Parallel zur x3-Achse: Richtungsvektor r = (0|0|1) (oder ein beliebiges Vielfaches davon, außer (0|0|0)). Stützvektor ist ja gegeben.

c) x1-x3-Ebene: x2 = 0

Erste Winkelhalbierende: x3 = x1

Damit Richtungsvektor s = (1|0|1)

Wieder ist ein Stützvektor gegeben. (Vielleicht solltest du noch begründen, wieso der Stützvektor tatsächlich in der x1-x3-Ebene liegt.)