Fundierungsaxiom erklärt?
Hej, ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis des Fundierungsaxioms. Ich habe im Internet etwas nachgelesen, aber könnte mir das jemand konkret an einem Beispiel bitte einfach nochmal erklären? 😊
2 Antworten
Nehmen wir beispielsweise mal die Menge A={1,2,3,4,5}. In der axiomatischen Mengentheorie ist alles, was man betrachtet, eine Menge, also auch die Zahlen in A. Man konstruiert diese für gewöhnlich so:
0=∅
1={0}
2={0,1}
3={0,1,2}
4={0,1,2,3}
5={0,1,2,3,4}
Das Fundierungsaxiom besagt nun, dass eine der Mengen, die in A enthalten sind, disjunkt mit A selbst ist. Hier ist es für 1 der Fall, denn 1={∅}. Die leere Menge ist nicht in A enthalten. Es gilt also 1 ∩ A = ∅.
Dieses Axiom stellt unter anderem sicher, dass keine Menge sich selbst enthält.
Beweis: Sei A eine Menge. Wegen des Paarmengenaxioms existiert {A}. Auf diese Menge wendet man nun das Fundierungsaxiom an; es gibt also eine Menge aus {A}, die mit A disjunkt ist. Die einzige mögliche Menge ist hier A selbst, also gilt A ∩ {A} = ∅ und somit ist A keine Menge aus {A}. Damit enthält A sich selbst nicht.
Damit kann sich eine Menge nicht selbst als Element enthalten