Ein Dreieck mit den Ecken A[a1,a2], B[b1,b2], C[c1,c2] hat drei Schwerpunktlinien. Als Vektoren ziehen diese von den jeweiligen Ecken zur Mitte der gegenüberliegenden Seite:
v1 = [a1,a2] + k * [ (b1 + c1)/2 - a1, (b2 + c2)/2 - a2 ]
v2 = [b1,b2] + l * [ (a1 + c1)/2 - b1, (a2 + c2)/2 - b2 ]
v3 = [c1,c2] + m * [ (a1 + b1)/2 - c1, (a2 + b2)/2 - c2 ]
v1 = [a1,a2] + k * [ (b1 + c1 - 2a1)/2, (b2 + c2 - 2a2)/2 ]
v2 = [b1,b2] + l * [ (a1 + c1 - 2b1)/2, (a2 + c2 - 2b2)/2 ]
v3 = [c1,c2] + m * [ (a1 + b1 - 2c1)/2, (a2 + b2 - 2c2)/2 ]
Für den Schwerpunkt S[s1,2] muss es ein k,l,m geben, sodass v1[k] = v2[l] = v3[m] gilt.
Die Lösung ist k = l = m = 2/3, denn
v1(2/3) = [a1,a2] + 2/3 * [ (b1 + c1 - 2a1)/2, (b2 + c2 - 2a2)/2 ]
v1(2/3) = [a1,a2] + 1/3 * [ (b1 + c1 - 2a1), (b2 + c2 - 2a2) ]
v1(2/3) = [ (a1+b1+c1)/3, (a2+b2+c2)/3 ]
v2 und v3 dito
Damit gilt für den Schwerpunkt S[s1,s2]
s1 = (a1+b1+c1)/3
s2 = (a2+b2+c2)/3
Jetzt kann man den Abstand d1 von der Ecke A zu S berechnen
d1^2 = (a1 - s1)^2 + ( a2 - s2)^2 =
d1^2 = (a1 - (a1+b1+c1)/3)^2 + ( a2 - (a2+b2+c2)/3)^2 =
d1^2 = (2a1 - b1 - c1)/3)^2 + ( 2a2 - b2 - c2)/3)^2
und den Abstand d2 von S zur Mitte der gegenüberliegenden Seite
d2^2 = (s1 - (b1+c1)/2)^2 + (s2 - (b2+c2)/2)^2 =
d2^2 = ((a1+b1+c1)/3 - (b1+c1)/2)^2 + ((a2+b2+c2)/3 - (b2+c2)/2)^2 =
d2^2 = ((2a1 - b1 - c1)/6)^2 + (2a2 - b2 - c2)/6)^2
Für das Verhältnis von d1^2 / d2^2 gilt dann, nach Kürzung des Terms (2a1 - b1 - c1) :
d1^2 / d2^2 = [ (1/3)^2 + (1/3)^2 ] / [ (1/6)^2 + (1/6)^2 ] =
[ 2/9 ] / [ 2/36 ] = 4
also
d1 / d2 = 2
Für die anderen Seitenhalbierenden dito.