Satz über den Schwerpunkt im Dreieck durch Vektoralgebra?
Einer der schönsten Sätze der Geometrie ist der Satz über den Schwerpunkt im Dreieck. "Der Schwerpunkt teilt die Schwerelinien im Verhältnis 1:2" Dieser Satz lässt sich mit Vektoralgebra beweisen.
Erkläre das Vorgehen und die zugrundeliegenden Ideen, mit denen dieser Satz mit Hilfe von Vektoren bewiesen werden kann.
3 Antworten
Ein Dreieck mit den Ecken A[a1,a2], B[b1,b2], C[c1,c2] hat drei Schwerpunktlinien. Als Vektoren ziehen diese von den jeweiligen Ecken zur Mitte der gegenüberliegenden Seite:
v1 = [a1,a2] + k * [ (b1 + c1)/2 - a1, (b2 + c2)/2 - a2 ]
v2 = [b1,b2] + l * [ (a1 + c1)/2 - b1, (a2 + c2)/2 - b2 ]
v3 = [c1,c2] + m * [ (a1 + b1)/2 - c1, (a2 + b2)/2 - c2 ]
v1 = [a1,a2] + k * [ (b1 + c1 - 2a1)/2, (b2 + c2 - 2a2)/2 ]
v2 = [b1,b2] + l * [ (a1 + c1 - 2b1)/2, (a2 + c2 - 2b2)/2 ]
v3 = [c1,c2] + m * [ (a1 + b1 - 2c1)/2, (a2 + b2 - 2c2)/2 ]
Für den Schwerpunkt S[s1,2] muss es ein k,l,m geben, sodass v1[k] = v2[l] = v3[m] gilt.
Die Lösung ist k = l = m = 2/3, denn
v1(2/3) = [a1,a2] + 2/3 * [ (b1 + c1 - 2a1)/2, (b2 + c2 - 2a2)/2 ]
v1(2/3) = [a1,a2] + 1/3 * [ (b1 + c1 - 2a1), (b2 + c2 - 2a2) ]
v1(2/3) = [ (a1+b1+c1)/3, (a2+b2+c2)/3 ]
v2 und v3 dito
Damit gilt für den Schwerpunkt S[s1,s2]
s1 = (a1+b1+c1)/3
s2 = (a2+b2+c2)/3
Jetzt kann man den Abstand d1 von der Ecke A zu S berechnen
d1^2 = (a1 - s1)^2 + ( a2 - s2)^2 =
d1^2 = (a1 - (a1+b1+c1)/3)^2 + ( a2 - (a2+b2+c2)/3)^2 =
d1^2 = (2a1 - b1 - c1)/3)^2 + ( 2a2 - b2 - c2)/3)^2
und den Abstand d2 von S zur Mitte der gegenüberliegenden Seite
d2^2 = (s1 - (b1+c1)/2)^2 + (s2 - (b2+c2)/2)^2 =
d2^2 = ((a1+b1+c1)/3 - (b1+c1)/2)^2 + ((a2+b2+c2)/3 - (b2+c2)/2)^2 =
d2^2 = ((2a1 - b1 - c1)/6)^2 + (2a2 - b2 - c2)/6)^2
Für das Verhältnis von d1^2 / d2^2 gilt dann, nach Kürzung des Terms (2a1 - b1 - c1) :
d1^2 / d2^2 = [ (1/3)^2 + (1/3)^2 ] / [ (1/6)^2 + (1/6)^2 ] =
[ 2/9 ] / [ 2/36 ] = 4
also
d1 / d2 = 2
Für die anderen Seitenhalbierenden dito.
Mit Hilfe der Vektoren kann man höchstens nachweisen, dass die Seitenhalbierenden sich im Verhältnis 1/3 : 2/3 in einem Punkt treffen.
Die Auffassung als Schwerpunkt ist eine Interpretationssache.
Ich empfehle in solchen Fällen immer, mit Ortsvektoren zu arbeiten, weil man bei Vektorzügen sofort sieht, ob sie auch stimmen.
<OB> = <OA> + <AB>
Erster und letzter Punkt des Vektorzugs entspricht dem resultierenden Vektor. Endpunkt eines Summanden ist immer Anfangspunkt des Folgevektors.
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Ich finde übrigens, dass der Beweis des Satzes von Pythagoras vektoriell eine gewisse Schönheit hat. Vor allem: es geht schnell.
Suum cuique.
(Bei Nachfrage Vorführung.)
Hi,
hier ein Lösungsvorschlag mit Vektoralgebra.
Die Vorgehensweise ist einfach: man schreibt zwei Vektorgleichungen für den Schwerpunkt auf (über zwei der drei Seitenhalbierenden), und forme sie so um, dass nur noch Vektoren BA und BC vorkommen (siehe BIld).
Gruß
