Dreieck mithilfe von Vektoren beweisen?
Hallo,
ich habe drei Punkte gegeben, alle enthalten sowohl eine x- sowie y- Koordinate, jedoch keine z. Nun soll ich beweisen, dass es sich um ein Dreieck handelt. Reicht es aus, zu beweisen dass die Summe der drei Vektoren zwischen den Punkten einen Nullvektor ergibt?
Danke für Antworten :)
4 Antworten
Gerade im Raum g: x=a+r*m
a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)
r=Geradenparameter,ist nur eine Zahl
m(mx/my/mz)=Richtungsvektor
bei dir z-Komponente gleich NULL
Punkt A(ax/ay) isind die Koordinaten der Vektorspitze von dem Vektor a(ax/ay)
a(ax/ay) ist ein Ortsvektor,Anfang des Vektors liegt im Ursprung des x-y-Koordinatensystems
1) Gerade von A(ax/ay) nach B(bx/by) mit Geradenparameter r=1
(bx/by)=(ax/ay)+1*(mx/my)
x-Richtung: bx=ax+1*mx ergibt mx=(bx-ax)/1=
y-Richtung: by=ay+1*my ergibt my=(by-ay)/1=
Damit hat man die Gerade AB x=(ax/ay)+r*(mx/my)
Da Selbe macht man mit den beiden anderen Geraden
Von Punkt A(ax/ay) nach Punkt C(cx/cy)
cx/cy)=(ax/ay)+1*(mx/my)
mx=(cx-ax)/1=
my=(cy-ay)/1=
ergibt Ac → x=(ax/ay)+s*(mx/my)
nun von Punkt B(bx/by) nach Punkt C(cx/cy)
(cx/cy)=(bx/by)+t*(mx/my)
mx=(cx-bx)/1=
my=(cy-by)/1=
Gerade BC x=(bx/by)+t*(mx/my)
nun rechnet man nach,ob sich die Geraden AC und BC im Punkt C(cx/cy) schneiden.
beide Geraden gleichgesetzt
(ax/ay)+s*(max/may)=(bx/by)+t*(mbx/mby)
das sind 2 Unbekannte,s und t und 2 Gleichungen.
eindeutig lösbar,wenn sich beide Geraden im Punkt C(cx/cy) schneiden
1) max*s-mbx*t=bx-ax
2) may*s-mby*t=by-ay
ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) was man am besten mit einem Graphikrechner (GTR,Casio) löst,wie ich einen habe.
Hier Infos,Gerade im Raum und Ebene,was du vergrößern kannst oder auch herunterladen.
da kein Z achse vorhanden ist befinden sich alle punkte in einer Ebene und damit ist bereits bewiesen, dass sie ein dreieck bilden. Da egal wie du 3 punkte in einer ebene verbindest es kommt IMMER ein dreieck raus
stimmt ganz vergessen, aber das sollte man ja anhand seiner einzelnen werte leicht erkennen
Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt.
Wenn du zeigen kannst das die 3 Punkte nicht in einer geraden liegen. Dann bilden diese 3 Punkte ein dreieck.
2 Vektoren nehmen die im Selben Punk starten. z.b. a b und ac und den winkel ausrechnen. Ist dieser größer null ists n dreieck.
Müsste ausreichen.
Falls es sich um ein rechtweinkliges Dreieck handelt: Das Skalarprodukt zweier Kantenvektoren (also Differenzen) bilden. Das muss 0 sein
oder noch ne Idee: zwischen den Vektoren die Winkel ausrechnen. Es muss insgesamt 180° rauskommen
Ausser wenn die 3 punkte auf einer geraden liegen.