Wie berechnet man das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt wenn folgende Funktion und Punkte gegeben ist?
Ich hab heute ein bisschen Langeweile und wollte deshalb ein paar Mathegrundlagen wiederholen und stehe nun vor folgender Aufgabe: Wie kann ich das Dreieck berechnen, welches den größten Flächeninhalt hat ? Die Eckpunkte A(0/9), B(x/f(x)) und C(-x/f(-x)) sind gegeben und, dass f(x)= 1/4x^4-x^2+1 ist gegeben. Außerdem darf f(x) nur größer/gleich 9 sein. Ich denke da muss man mit Vektoren rechnen und dann mithilfe des Betrages der Vektoren die Länge der Vektoren rausfinden und damit dann den Flächeninhalt bestimmen. Aber wie findet man denn das größte Dreieck dabei?
2 Antworten
Wie bereits bekannt, ist f(x) = 1/2 (x²-2)².
Der Graph hat damit einen W-förmigen Verlauf und alle Funktionswerte sind nicht negativ. Damit haben die Punkte B und C die gleiche y-Koordinate, denn der Graph von f ist schließlich achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die Grundseite des Dreiecks ist 2x. Die Höhe des Dreiecks ist f(x)-9.
Dann ergibt sich für die Fläche des Dreiecks ABC:
A(x) = 1/2 * 2x * ( f(x) - 9 ) =
x ( 1/2 (x²-2)² - 9 ) =
1/2 x (x²-2)² - 9x.
Ah vielen dank hab da anscheinend viel zu kompliziert gedacht :S HAst mir viel geholfen
und die Antwort lese ich erst jetzt und ja du hast recht :S
wie kommst du jetzt auf dieses A(x) = 1/4 x^5-x³+x-9x = 1/4 x^5-x³-8x und wofür braucht man A '(x) = 5/4 x^4-3x²-8?
Dann muss die Skizze natürlich angepasst werden. Die Punkte B und C dürfen nun nicht mehr über der Geraden y=9 liegen, sondern darunter.
A(x) ist die Zielfunktion bzw. die Flächeninhaltsfunktion. Um das Maximum zu bestimmen, müssen wir ableiten, damit wir die Extremstellen berechnen können.
A(x) = 1/2 * 2x * ( 9 - f(x) ) =
x ( 9 - (1/4 x^4-x²+1) ) = x ( 9 - 1/4 x^4+x² -1) =
x (8 - 1/4 x^4 + x²) = -1/4 x^5 + x³ + 8x.
Also A '(x) = -5/4 x^4 + 3x² + 8.
Und es ist A ''(x) = -5x³ + 6x.
A '(x) = 0 ... also x = 2
A ''(2) = -5 * 8 + 6 * 2 = -40 + 12 = -28 < 0 ... folglich lokales Maximum.
A(2) = 16.
Also an etwas wie eine Flächeninhaltsfunktion kann ich mich ganz sicher nicht mehr erinnern :S Aber das werde ich mir dann nochmal durchlesen ^^
Die Zielfunktion wird hier so genannt, weil man in Abhängigkeit von der Variablen x den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen kann.
ok doch noch eine allerallerletzte Frage: wie bist du darauf gekommen, dass die Grundseite 2x sein muss?
Und vielen Dank für deine Hilfe und Geduld :P
Der Punkt B hat die x-Koordinate x und der Punkt C hat die x-Koordinate -x. Dann ist der horizontale Abstand von B und C gegeben durch x-(-x) = x+x = 2x. Und dieser Abstand ist die Länge der Grundseite des Dreiecks ABC.
nach dir würden dann doch B und C an der x-Koordinate 1 bzw -1 liegen nicht war? und ist das Ergebnis A(2) =16 dann schon der Flächeninhalt oder was sagt die 16 aus? wie gesagt in Flächeninhaltsfkt. muss ich mich dann nochmal reinlesen.
aaaaaaaaah jetzt hab ich den Durchblick :D VIelen Dank jetzt habe ich das komplett kapiert ^^
Aber hast du mit 1/2 (x²-2)² nicht einen Fehler gemacht ? :S
Der Term wurde heute ja schonmal betrachtet und bei der Umformung hatte ich das 1/4 in die quadratische Klammer gezogen, dadurch wurde es zu 1/2, das war mir wohl noch in Erinnerung, dadurch der Flüchtigkeitsfehler :)
Einmal die Frage oben zu deiner anderen Antwort und dann nochmal: da kommt doch dann aber gar kein Flächeninhalt heraus bei deiner Rechnung oder? zumindest verstehe ich den weg nicht und was der dann sein soll :S
Tipp Nr. 1: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Die brauchst du nur noch zu halbieren und schon hast du die Fläche des Dreiecks. Bringt dich das etwas weiter?
Erstmal danke, dass du dich überhaupt hiermit befasst.
Ja das ist mir bewusst, jedoch wie finde ich die Punkte heraus mit denen ich das größtmögliche Dreieck bekomme?
Dafür muss ich ja entweder den x-Wert von B oder C oder f(x) von einem von beiden herausfinden :/
An der Stelle ist mein Problem
A(x) = 1/4 x^5-x³+x-9x = 1/4 x^5-x³-8x
Dann ist A '(x) = 5/4 x^4-3x²-8.
A '(x)=0 ist für x=-2 oder x=2 erfüllt. Da aber f(2)=f(-2) < 9, musst du wohl oben in der Beschreibung "größer gleich" mit "kleiner gleich" verwechselt haben.
Ein lokales Maximum erhälst du nur, wenn f(x) zwischen 0 und 9 liegt.