Dreieck: Seitenhalbierende Verhältnis 2:1 - Beweis mit Vektoren?
ich bin vorhin auf eine Aufgabe mit meiner Nachhilfeschülerin (13.Kl.) gestoßen,
wo ich bis jetzt leider keine griffige Antwort gefunden habe.
Im Internet habe ich leider auch nicht gefunden, wonach ich gesucht habe:
"Die Seitenhalbierenden eines beliebigen Dreiecks mit den Punkten A,B,C schneiden sich im Verhältnis 2:1. Beweise mit Vektoren!"
Wie beweist man das am geschicktesten/einfachsten?
Danke schonmal für eure Hilfe
Achja: Der normale Beweis mit Strahlensatz ist mir klar, ich suche nur nach einer Lösung mit Vektoren!
Hier für alle die ein Dreieck mit Seitenhalbierenden sehen wollen: http://www.mathematische-basteleien.de/adreieck18.gif
2 Antworten
Diese Art von Beweise wird immer mit Hilfe von linearen Abhängigkeiten gelöst: Dazu defioniert man als erstes "geschickt" so viele linear unabhängige Vektoren, wie es Dimensionen gibt. In diesem Fall zwei. Dazu verwendet man am besten die Seiten des Dreieck, sprich man definiert eine Seite als Vektor a und eine als Vektor b. Mit Hilfe dieser zwei Vektoren bildet man geschlossene Vektorketten, und zwqar so, dass der "interessante Punkt" drin ist. Hier könnte man das so machen: Der Punkt A liege gengeüber von der Seite a, der Punkt B gegenüber von der Seite b. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden sei S, der Fußpunkt der Seitenhalbierenden auf a sei P und auf b Q. Außerdem zeige der Vektor a von C nach B und der Vektor b von A nach C. Dann gilt für die Seitenhalbierende auf a (sollen alles Vektoren sein):
AP=b+1/2*a
und für die Seitenhalbierende auf b:
QB=1/2*b+a
Jetzt kommt der "interessante Punkt" ins Spiel. Wir machen eine geschlossene Vektorkette P-S-B. Dann gilt:
0=PS+SB+BP=t*PA+s*QB-1/2*a=-t*AP+s*QB-1/2*a
Das t*PA kommt natürlich daher, dass PS auf dem Vektor PA liegt und damit durch Mulitplikation von PA mit einer (noch unbekannten) Konstanten dargestellt werden kann. s*SB natürlich entsprechend. Jetzt setzen wir die oben aufgestellten Bedingungen ein und Klammer a und b aus:
0=-t*AP+s*QB-1/2*a=-t*(b+1/2*a)+s*(1/2*b+a)-1/2*a=a*(-1/2*t+s-1/2)+b*(-t+1/2*s)
Damit haben wir einen Ausdruck der Form
k*a+r*b=0
Wir erinnern uns, dass so auch der Prüfterm für lineare Abhängigkeit gelautet hat: a und b sind genau dann lin. unabhängig, wenn k=0 und r=0. Das nutzen wir nun aus, denn da a und b ja von vornherein lin. unabhängig sind, muss gelten:
-1/2*t+s-1/2=0
-t+1/2*s=0
Dioese Gleichungssystem nach s und t aufgelös ergibt t=1/3 und s=2/3. Damit sind die "kurzen Sücke" der Seitenhalbierenden genau 1/3 so lang, wie die Gesamte Seitenhalbieredne, damit schneidet S diese im Vewrhältnis 1:2. q.e.d.
Eine Ecke ist 0, und die beiden anderen sind durch Orts-Vektoren a und b gegeben, Seitenmitten also a/2 und b/2.
Die Behauptung lautet nun: Die beiden "Wege" links und rechts der folgenden Gleichung führen zum gleichen (Schwer-)Punkt:
b + 2/3 (a/2 - b) = a + 2/3 (b/2 - a)
Beide Seiten sind aber gleich 1/3 (a+b). QED
Den Ortsvektor des Schwerpunkts als 1/3 (a+b) erkennen ist übrigens interessant: Spiegle dazu das Dreieck an der dem Punkt 0 gegenüberliegenden Seitenmitte (a+b)/2 !