Beweis Höhensatz mit zwei Dreiecke?
Hallo,
ich muss bei einer Aufgabe den Höhensatz beweisen, indem ich in Fig.3 den Satz des Pythagoras auf das Dreieck MCD anwende.
Mein Ansatz wäre ja den Satz des Pythagoras anzuwenden wobei ich folgende Ergebnisse erhalte: MD^2 + h^2 = c^2/4.
Man kann auch sehen, dass die zwei Dreiecke (MCD und ABC) ähnlich sind, und ich denke ich sollte mit der Ähnlichkeit der zwei Dreiecke weitermachen, jedoch weiß ich nicht wie.
Kann mir jemand dabei helfen?
3 Antworten
Eigentlich braucht man die Ähnlichkeit nicht.
MD^2 + h^2 = c^2/4
(c/2 - q)² + h² = c²/4
c²/4 - cq + q² + h² = c²/4
h² = cq - q²
h² = (p + q)q - q²
h² = pq + q² - q²
h² = pq
Warum man hier unbedingt den Radius des Thaleskreises beteiligen musste, ist mir unklar. Man hätte doch gleich dreimal Pythagoras ansetzen können:
a² = p² + h²
b² = q² + h²
a² + b² = c² = (p + q) ² = p² + q² + 2h²
p² + 2pq + q² = p² + q² + 2h², also pq = h²
wie du an meiner schönen Antwort erkennen kannst , kann man den Radius durchaus nutzen
Hat danach allerdings fehleranfälligen TermKlammerSalat ( sine olio ! )
ich sehe nach längerem Betrachten , dass die Strecke unten (c/2)-q lang ist .
.
dann gilt
(c/2)² = h² + ((c/2)-q)²
c wiederum ist q+p
( (q+p)/2 )² = h² + ( (q+p)/2 - q )²
und wenn man das ausmultipliziert ensteht auf wundersame Weise
HI,
hier ganz einfach und zwar genau mit der Ähnlichkeit der Dreiecken, wie Du es angesetzt hattest. Siehe Bild:
LG,
Heni
