x^2-8x=0...wieso kann ich Gleichung nicht durch x rechnen?
Hey, ich habe ein Problem und zwar hat uns unsere Mathelehrerin die Frage gestellt, warum es fehlerhaft wäre, die oben genannte Gleichung direkt am Anfang durch x zu dividieren. Sie hat den fehlerhaften Lösungsweg an die Tafel geschrieben.
x^2-8x=0 |:x
x-8=0
x=8
L={8}
Richtig wäre folgendes (bspw.)
x^2-8x=0
x(x-8)=0
x=0 v. x-8=0
L={0,8}
Aber warum ist der obere Lösungsweg falsch? Warum kann ich nicht einfach durch die Variable rechnen, ohne das eine Lösungsmöglichkeit 'auf der Strecke bleibt' und sozusagen verloren geht. Gibt es dafür eine Begründung oder ist das einfach so? Im Internet habe ich bis jetzt keine Begründung gefunden, würde mich deswegen sehr über Hilfe von den Mathegenies unter euch freuen :)
6 Antworten
Problem: x^2
durch die Potenz hast du 2 Lösungen! (eine positive und eine negative) (Wurzelziehen)
und somit unterschlägst du eine Lösung ;)
Die Potenz gibt die Anzahl der maximalen Nullstellen an, also in diesem Fall Hoch 2...d.h. es kann bis zu 2 Lösungen geben! ;)
und wenn man hier durch X teilt, dann geht halt die eine Lösung verloren! :) Denk an eine nach unten verschobene Parabel, sie besitzt dann 2 Nullstellen... wenn man aber du x teilt, dann bekommt nan nur die eine und nicht beide!
Wenn du aber Hoch 5 hast, dann kann deine Funktion max. 5 Nullstellen haben, sprich sie kann auch nur 3 oder 4 haben! ;)
Am besten ist es nie durch eine Variable teilen...!
Im Gegenteil. Über diese Präzision ist zumindest einer glücklich :-)
x * (x - 8) = x ^ 2 - 8 *x
((x ^ 2 - 8 * x) / x) ≠ x ^ 2 - 8 * x
Es ist nun mal so, dass du einfach nicht durch eine Variable rechnen kannst, da du für die Variable halt verschiedene Werte einsetzten kannst
Aber ist das nicht egal, denn 0:x ist genau so 0 wie 0:4 oder 0:8 oder irgendetwas anderes? Wieso spielt das eine Rolle?
Wenn x=0, dann steht da 0:0 und das ist wie bereits erwähnt eine Division durch 0, welche nicht definiert ist.
Selbstverständlich darf man beide Seiten einer Gleichung durch x dividieren, vorausgesetzt es ist sichergestellt, dass x ≠ 0 ist. Zum Beispiel durch eine Fallunterscheidung:
Fall 1: Sei x ≠ 0. Dann gilt
x² - 8x = 0
⇔ x - 8 = 0
⇔ x = 8
Also ist x = 8 eine Lösung der Gleichung.
Fall 2: Sei x = 0. Dann gilt
x² - 8x = 0² - 8*0 = 0
Also ist auch x = 0 eine Lösung der Gleichung.
Und das sind auch schon alle Lösungen der Gleichung, weitere gibt es nicht. Denn jedes x ist entweder ≠ 0 oder = 0. Wir haben also alle möglichen x berücksichtigt.
Laienmathematische Antwort:
Weil es sich um eine quadratische Gleichung handelt und es daher zwei Lösungen geben muss. Null muss sie ergeben, wenn die Gleichung als Funktion interpretiert (Parabel) jeweils die x-Achse schneidet. Das macht sie zweimal.
Oder anders ausgedrückt, eine Multiplikation zweier Faktoren wird immer null, wenn ein Faktor gleich null ist. Hier ist der eine Faktor x und der andere Faktor (x-8).
Seit wann muss eine quadratische Funktion zwei Nullstellen haben? Eine quadratische Funktion kann eine, zwei oder keine Nullstellen haben.
Ich hätte genauer "in diesem Fall" (Gleichung des Eingangsposts) schreiben müssen / wollen. Natürlich ist deine Anmerkung richtig.
Ergänzung: Wie schon von everysingledy1 kommentiert, handelt es sich beim Eingangspost um einen Rechenfehler, weil aus der Differenz erst einmal ein Faktor ausgeklammert werden muss, um regelhaft gekürzt zu werden.
Wenn die Definitionsmenge auf z.B. x>0 eingeschränkt ist, dann darf man sehr wohl durch die Variable x teilen, auch wenn Mathematiker das jetzt nicht unbedingt schön finden mögen.