Wieso kann das Quadrat einer rationalen Zahl nie negativ sein?
...🤔
7 Antworten
Wenn du wirklich wissen willst, wie man beweist, dass Quadratzahlen nie negativ sind, so steht das Resultat im Satz 5 und die aufbauenden Resultat unten.
Ergebnisse für beliebige Körper (R,+,0,·,1). Hierbei ist 0 das additive Neutralelement und 1 das multiplikative.
Lemma 0. -(-x) = x für alle x∈R.
Beweis. Sei x∈R beliebig. Dann gilt -x+x = 0 = x + -x per Definition des additiven Inversen. Da das additive Inverse eindeutig ist, gilt also -(-x)=x. Insbesondere gilt -(-1) = 1. QED
Lemma 1. x·0 = 0 = 0·x für alle x∈R.
Beweis. Sei x∈R beliebig. Dann gilt x·0 = x·(0+0) = x·0 + x·0 wegen Distributivität und da 0 additiv neutral ist. Da aber das additive Neutralelement eindeutig ist, folgt aus dieser Gleichung: x·0=0 und analpg 0·x=0. QED.
Lemma 2. (-1)·x =x und (-1)·(-x) = x und (-x)·(-y) = xy für alle x, y ∈R
Beweis. Es gilt
0 = 0·x Lemma 1
= (1 + -1)·x add. Inverses
= 1·x + (-1)·x Distr.
= x + (-1)·x.
Da das Inverse eindeutig ist, gilt somit -x = (-1)·x. Da dies für alle x ∈ R gilt, erhält man zusätzlich (-1)·(-x) = -(-x) = x laut Lemma 0. Anhand dieses Ergebnisses erhält man (-x)·(-y) = (-1)·x·(-1)·y = (-1)·(-1)·x·y = 1·x·y = x·y wegen Kommutativität (und Assoziativität) und, da (-1)·(-1) = 1, wie schon bewiesen wurde. QED
Die restlichen Ergebnisse gelten speziell in ℕ, ℤ, ℚ:
Lemma 3. Für alle n ∈ ℕ mit n>0 gilt n² > 0.
Beweis. Definitionsgemäß gilt n² = n·n ∈ ℕ. Per Induktion lässt sich beweisen, dass k·j > 0 für alle k,j ∈ ℕ mit k, j > 0. QED.
Lemma 4. Für alle r ∈ ℚ∩(0,∞) gilt r² > 0.
Beweis. Es existieren p, q ∈ ℕ mit p,q > 0 und r=p/q. Es gilt r² = r·r = (p/q)·(p/q) = (p·p)/(q·q) per Definition = p² / q². Wegen Lemma 3 gelten p²>0 und q²>0. Per Defintion von ≤ auf ℚ gilt also (r² =)p² / q² > 0. QED
Satz 5. Für alle r ∈ ℚ gilt r² ≥ 0.
Beweis. Falls r=0, so gilt r² = 0·0 = 0 (siehe Lemma 1) und somit r²≥0. Falls r > 0, so folgt dies aus Lemma 4. Falls r < 0, so gilt r = -s für ein s ∈ ℚ∩(0,∞). In diesem Falle gilt r² = r·r = (-s)·(-s) = s·s (siehe Lemma 2) und s·s = s² > 0 wie in Lemma 4. QED
Ups ... es fehlt ein "s", das ich hiermit nachliefere - bitte an passender Stelle einfügen ;-)
Jo, das ist mir augefallen: es müsste natürlich (-1).x = -x heißen. Sowas passiert, wenn mann Text bearbeitet, dann vergesst, alles zu überarbeiten ; )
Während ich mir dessen bewusst bin, vertrete ich die Position: Mathe ist ausführlich bewiesene und hergeleitete und nicht verdünnte Mathe. Wenn man sie richtig lernen und begreifen will, muss man sich mit dem wahren Jakob auseinandersetzen. Alle andere ist Täuschung.
Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv:
-3 * -3 = (-3)² = +9
Das Quadrat einer positiven Zahl ist sowieso positiv:
3 * 3 = +9
Somit ist das Quadrat jeder Zahl positiv, da das Produkt zweier negativen Zahlen sowie das zweier positiver Zahlen positiv ist. :)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Ein Quadrat ist ein Produkt von zwei Zahlen, die (da beide Zahlen gleich sind) entweder beide positiv oder beide negativ sind.
Das Produkt zweier negativer Zahlen ist aber immer positiv ("minus mal minus gibt plus"), das Produkt zweier positiver Zahlen sowieso.
Weil eine negative Zahl mal sich selbst eine positive Zahl ergibt. Und eine positive mal sich selbst auch eine positive. Es gibt kein Szenario (bei rationalen Zahlen), in der eine Zahl multipliziert mich sich selbst eine positive Zahl ist.
5² = +25
(-5)² = +25
Achtung: -5² = -25, aber das ist ein Fehler, da hier das Minus beim Quatrieren ausgenommen wird und dann nur beim Ergebnis wieder da steht.
Eine rationale Zahl hat entweder ein positives oder ein negatives Vorzeichen.
Wenn dieses mit sich selbst multipliziert wird, resultiert daraus immer ein positives Vorzeichen.
Ein Lob für die Mühe und mathematische Vollständigkeit!
Ich fürchte nur, dass das "Perlen vor die Säue" ist ... ;-) - oder anders gesagt: Das das das Begriffsvermögen der Fragestellerin / des Fragestellers bei weitem übersteigt.
Und leider gibt's einen kleiner Tippfehler in Lemma 2: