Frage von jeppdm, 86

Wieso funktioniert Multiplikation mit der Normalparabel?

In Mathe sollen wir herausfinden wieso man mit der Normalparabel multiplizieren kann und wieso das immer klappt. Wir hatten das Beispiel 2×3=6. Wenn man von Punkt 2 zu Punkt 3 eine Gerade zieht schneidet diese Gerade ja die y-Achse den Punkt 6 also das Produkt von 2 und 3 wieso funktioniert das so und auch mit anderen Zahlen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 35

Hallo,

Du meinst, wenn man die Punkte (2|4) und (-3|9) der Normalparabel y=x² verbindet, schneidet die Verbindungslinie die y-Achse bei 2*3=6.

Allgemein: Die Verbindung zwischen (-x1|(-x1)²) und (x2|(x2²) auf dem Funktionsgraphen von f(x)=x² schneidet die y Achse beim Punkt (0|x1*x2).

Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, hat die Steigung 
[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]

Sie hat demnach die Geradengleichung g: {[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]]*x2+b=x2²

Um es übersichtlicher zu gestalten, nenne ich x1 m und x2 n:

[(n²-m²)/(n+m)]*n+b=n²

n²-m²=(n+m)*(n-m)

[(n+m)*(n-m)]/(n+m)=n-m, wenn (n+m) ungleich Null.

(n-m)*n+b=n²

n²-mn+b=n²

Daraus folgt, daß b=mn, denn n²-mn+mn=n² (wahr)

b aber ist in der allgemeinen Geradengleichung y=mx+b der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Das Produkt der beiden x-Koordinaten zweier Punkte auf der Normalparabel, die sich rechts und links von der y-Achse befinden, multipliziert mit (-1), ist somit der Schnittpunkt der Geraden, die beide Punkte verbindet, mit der y-Achse.

Herzliche Grüße,

Willy


Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 13

Die These:

Die Verbindungsgerade zweier Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂), die auf dem Graphen der Normalparabel n(x) = x² liegen, schneidet die y-Achse an der Stelle y = -x₁*x₂.

Berechnen wir die Steigung der Gerade mit der allgemeinen Steigungsformel:

        y₂ - y₁
m = ———
        x₂ - x₁

Zwei Variablen sind immer schlecht, daher setzen wir für y den Funktionsterm x² ein:

        (x₂)² - (x₁)²
m = —————
            x₂ - x₁

Rufe dir nun die dritte binomische Formel in Erinnerung:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Wir können sie im Zähler anwenden:

        (x₂ + x₁)(x₂ - x₁)
m = ———————
               x₂ - x₁

Den Ausdruck x₂ - x₁ kannst du nun kürzen:

m = x₂ + x₁

Kürzen darfst du nur, da x₂ immer positiv und x₁ immer negativ ist. Subtrahierst du eine negative Zahl von einer positiven Zahl, so erhältst du immer ein Ergebnis, das größer als der Minuend der Differenz und somit nicht 0 ist. 

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

g(x) = (x₂ + x₁)*x + t

Setze nun einen beliebigen Punkt ein:

P(x₁ | y₁)

y₁ = (x₂ + x₁)x₁ + t

Das y₁ können wir wieder durch (x₁)² ersetzen:

(x₁)² = (x₂ + x₁)x₁ + t

Ausmultiplizieren:

(x₁)² = x₁*x₂ + (x₁)² + t           |-(x₁)²

0 = x₁*x₂ + t                          |-(x₁*x₂)

t = -x₁*x₂

q. e. d.

Wir haben sogar noch etwas Spannendes herausgefunden:

Die Steigung der Verbindungsgeraden entspricht der Summe der beiden x-Werte.

Also können wir folgendes aussagen:

Schneidet eine Gerade zwei Punkte, die auf der Normalparabel liegen, so entspricht die Summe der beiden x-Werte der Steigung der Geraden und das negative Produkt der beiden x-Werte dem y-Achsenabschnitt der Geraden.

Kurz: g(x, x₁, x₂) = (x₁ + x₂) * x + (x₁ * x₂)

Das ist auch logisch, denn, wenn zwei Punkte Geraden bekannt sind, muss sich daraus eine eindeutige Geradengleichung aufstellen lassen!

Daraus folgt, dass diese nur von den beiden Punkten abhängen darf - und das tut sie. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Antwort
von gfntom, 22

Nimm 2 Punkte, die auf der Parabel liegen: U und V
U (u / u²), V (v / v²)

Die Steigung k durch die Verbindungsgerade ("Delta-y / Delta-x)
k = (u²-v²)/(u-v)

Um die Geradengleichung y = kx+d zu erhalten, einen der Punkte einsetzen:
u² = (u²-v²)/(u-v) * u + d
-> d = u² - u *(u²-v")  / (u-v) = u * (u - (u²-v²)  / (u-v) ) =
= u * (u² - uv - (u² - v²)) / (u-v) = u * (u² - uv - u² + v²) / (u-v) =
= u * (v²-uv) / (u-v) = u * (v * (v-u) / (u-v)) = u * (v * (-1)) = -uv

d ist also -uv

Die Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also:
y = (u²-v²)/(u-v) * x - uv

Wenn man x = 0 setzt erhält man d, den Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Also schneidet die Gerade, die durch U und V geht, die y-Achse bei -uv
was zu zeigen war.

Antwort
von Physikus137, 22

Das ist gar nicht so schwer:

Gegeben, zwei Punkte auf der Parabel: (x₁,y₁) und (x₂,y₂) 

mit y₁ = x₁² und y₂ = x₂²

Durch die beiden Punkte geht eine Gerade Y = m X + b mit

m = (x₂² − x₁²)/(x₂− x₁) = {(x₂ + x₁) (x₂ − x₁)}/(x₂ − x₁) = (x₂ + x₁)

Weil (x₂,y₂) auf der Geraden liegt gilt:

y₂ = x₂² = (x₂ + x₁) x₂ + b ⇌ b = − x₁x₂

Die Geradengleichung lautet also:

Y = (x₂ − x₁) X - x₁x₂

und schneidet die Y-Achse bei X = 0 ⇌ Y = − x₁x₂

q.e.d.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 38

Was ist Punkt 2 und was ist Punkt 3?

Wenn du die Koordinaten angibst, kann die These bewiesen werden.

LG Willibergi 

Kommentar von jeppdm ,

Punkt 2 = -2/4 Punkt 3= 3/9

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

Wenn schon, denn schon - mit nur einem Beispiel/Punktepaar ist die These nicht bewiesen. Algebraisch beweisen kann man das in allgemeiner Form - dafür werden keine Koordinaten benötigt 😉

Kommentar von Willibergi ,

Wenn ich aber nicht mal weiß, was der FS meint, kann ich seine These schlecht beweisen.

Mit dem Beispiel-Punktepaar erkenne ich nun, was er meint.

Beweise müssen sogar in allgemeiner Form gebracht werden - das werde auch ich tun. ^^

LG Willibergi 

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

bevor du dir zu viel mühe zum tippen gibst, hier für copy-paste für eventuelle ergänzungen und erklärungen :) http://www.mikrocontroller.net/topic/164391

Kommentar von Willibergi ,

Ich beweise doch gerne. ^^

LG Willibergi 

Antwort
von CrEdo85wiederDa, 47

Wenn man z.B. die Punkte f(2) und f(3) miteinander verbindet, schneidet die damit gebildete Gerade die y-Achse im Punkt f(0)= -6 statt wie erwartet 2×3=6. Somit wäre der Gegenbeweis erbracht. Bei z.B. 3×(-4) würde nicht mal mehr der Betrag der Zahlenwertes stimmen.

Kommentar von Willibergi ,

f(2) und f(3) sind keine Punkte.

LG Willibergi 

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

Wohlgemerkt bezieht sich diese Aussage auf deine Ausführung. Ansonsten habe ich t.B. genug Beweise und --tatsächliche Vorgehensweisen-- der Normalparabel-Multiplikation mit Erklärung in nicht mal 20 Sekunden bei Google gefunden - das schaffst du auch ;)

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

Natürlich meinte ich (2; f(2)) und (3; f(3)), entschuldige bitte den Flüchtigkeitsfehler 😉

Kommentar von Willibergi ,

Sieht schon viel besser aus. ^^

Flüchtigkeitsfehler können dir in der Mathematik das Genick brechen, wirklich!

LG Willibergi 

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

Ja, ich weiß, die letzten Vorlesungen und Klausuren sind schon länger her - da gewöhnt man sich das eine oder andere ja leider auch wieder ab 😁

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

ich habe zwar mich auch selbst am Beweis versucht und es auch hergeleitet bevor ich gegoogelt habe, aber bevor ich das alles hier abtippe, verweise ich lieber auf http://www.mikrocontroller.net/topic/164391 :)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

das ist eine interessante Frage; allerdings wird die y-A

chse bei  -6  von der Geraden geschnitten.

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