Normale schneidet X-achse im bestimmten Punkt?
Die Aufgabe lautet: Gegeben ist eine Funktion mit f(x)=e^tx -1 (t>0) a) für welches t schneidet die Normale in P(1/f(1)) die X Achse im Punkt (2/0)? Keinen Plan wie ich dies machen soll, schon jegliches versucht leider nix gebracht, benötige Hilfe.
5 Antworten
Oh Gott, lass mich überlegen:
Ich vermute jetzt mal, dass mit Normale die am Punkt 1/f(1) zur Tangente senrkecht stehende Gerade gemeint ist.
Dazu würde ich mir erst einmal überlegen, wie die Gleichung der Tangente ist.
Dazu würde ich wiederum die Steigung der Tangente=Steigung der Funktion in diesem Punkt bestimmen.
Also f'(1) bestimmen.
Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung und den y-Achsenabschnitt bestimmen.
Ergibt dir zusammen die Funktionsgleichung der Tangenten.
ganz ehrlich würde ich aber weggehen von der Darstellung als Funktion und das Ganze vektoriell betrachten.
Da betrachtest nimmst du dir einfach die errechnete Steigung/Ableitung an der Stelle.
Wie du vielleicht noch weißt aus dem primitiven Steigungsdreieck, ist die Ableitung , geht man da um 1 nach rechts und die Ableitung an der Stelle nach oben.
(Funktioniert gerade weil die tangente eine Gerade ist und damit überall gleiche Steigung hat).
Jedenfalls kannst dir damit einen Richtungsvektor der Tangente bauen:
T=(1,f'(1))
Nun suchen wir nen Vektor, der senkrecht dazu steht und damit Richtungsvektor der normalen ist :
2 Vektoren gleich heißt:
Vektor1*Vektor2=0
Einsetzen von T, der zweite vektor heiße jetzt mal N:
T*N=0
<->0=(1,f'(1))*(a,b)
-> 0=1*a+b*f'(1)
Jetzt suchste dir einfach mal irgendwelche Werte für a,b die die Gleichung erfüllen und du hast einen (von unendlich vielen ) Richtungsvektor der Normale. Ich an deiner Stelle würd es mit a=1,-> b=-1/f'(1) versuchen.
nun kennste also den Richtungvektor der Normale; den Ortsvektor eines Punktes auf der Normale kennst du auch, nämlich P=(1,f(1)).
Zeit, damit die Parametergleichung der Normalenkurve zu basteln:
P+s*N
s ist der Paramater. wenn du den variierst, erreichst du alle Punkte auf der Normalen.
Joa, nun hast du einerseits die normalen-gerade.
Und andererseits eine 2. gerade, die sich schneiden sollen.
Praktischerweise kennste schon die Koordinaten des Schnittpunkts S=(2,0).
Also kannste direkt setzen (ohne die beiden Geradengleichungen gleichsetzen zu müssen):
P+s*N=S
Ist ein gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, einerseits dem s aus der Parameterdarstellung, andererseits aber (viel wichtiger) deinem gesuchten t!
Lösen des gleichungssystems gibt dir den Wert von t!
Sorry aber ich habe so das Gefühl, als habe ich das viel umständlciher ausgedrückt als es ist.
Meld dich einfach wenn du irgendetwas gar nicht verstehst.
Aber am Wichtigsten: MAch dir als erstes mal ne Skizze von dem ganzen, von de Funktion (wie sie genaus aussieht, ist egal, geht nur ums prinzip), der am Punkt 1, f(1) anliegenden gerade und der Normalen an dem Punkt, die die x-Achse bei x=2 schneidet.
- Berechne die Steigung von f an der Stelle x = 1 [in Abhängigkeit von t]
- Berechne die Geradengleichung der Normale von f in P(1|f(1)) [in Abhängigkeit von t]
- Berechne die Nullstelle der Normale [in Abhängigkeit von t]
- Berechne nun ein t, für das diese Nullstelle den Wert 2 annimmt.
Zwei zueinander orthogonale Geraden mit Steigungen m und n erfüllen m * n = -1.
gut zu wissen. :-D
Obwohl es , mit den Richtungsvektoren der Tangenten und Normalen, eigentlich logisch ist :D
1. Tangente berechnen im Punkt x=1
1.1.Dafür brauchst du die Ableitung f`(x)=t*e^tx-1
1.2. f`(1)=t*e^t-1
Und immer so weiter.. Bin da grade zu faul für.
2. Normale berechnen (Kehrwert der Steigung der Tangente) und y-Achsenabschnitt
3. Nullstelle der Normale g(x)=0
Gegenfrage -->
Du hast leider nicht mit Klammern gearbeitet.
Soll es f(x) = e ^ (t * x) - 1 heißen, oder f(x) = e ^ (t * x - 1)
Wie soll es heißen ??
Ist die -1 auch im Exponenten?
Dumme Frage:
Wie bestimmst du die Steigung der Normalen?
Steigung der Tangente (=Ableitung der Funktion an der Stelle) und Tangentengleichung bestimmen ist einfach, aber wie dann damit zur gleichung der Normalen (ohne da über zueinander orthogonale vektoren zu gehen)?