Tangente schneidet einmal oder zweimal die Funktion?
Ich will die eine Ortogonale Tangente zu einer Tagente einzeichnen. Meiner Meinung nach stimmt das, aber eine Tagente schneidet die Funktion nur an einem Punkt oder?
4 Antworten
A. Definition: Die Gerade g(x) ist Tangente an eine Funktion f(x) genau dann, wenn sie einen Punkt (x0 | f(x0)) mit der Funktion gemeinsam hat und für alle x-Werte x≠ x0 aus einer geeigneten Umgebung von x0 gilt, dass
- der Funktionswert f(x) größer ist als g(x) ( = Berührung der Tangente von oben)
- der Funktionswert f(x) kleiner ist als g(x) ( = Berührung der Tangente von unten).
Dabei ist unter einer "Umgebung von x0" die Menge aller Zahlen x mit
x0 -a < x < x0 +a
zu verstehen (a beliebig, aber fest).
Die Vereinigungsmenge aller dieser Umgebungenen kann der gesamten Definitionsbereich von f sein (dann haben Tangente und Funktion nur einen Punkt gemeinsam), muss aber nicht.
B. Die Orthogonale zur einer Tangenten in einem Punkt heißt Normale an die Funktion in diesem Punkt. Über die Anzahl der Schnittpunkte von Normale und Funktion lässt sich nichts Allgemeines sagen (es kann nur einen geben, endlich viele oder auch unendlich viele).
Beispiel: Für die Funktion y = x sin(x) ist die Gerade y = x/2 Normale in allen Punkten mit x-Werten, die Lösung der Gleichung
(-1 / (1/2) = ) -2 = ( y' = ) sin(x) + x cos (x)
sind. Es gibt unendlich viele solcher Punkte.
"A. Definition: Die Gerade g(x) ist Tangente an eine Funktion f(x) genau dann, wenn sie einen Punkt (x0 | f(x0)) mit der Funktion gemeinsam hat und für alle x-Werte x≠ x0 aus einer geeigneten Umgebung von x0 gilt, dass
** der Funktionswert f(x) größer ist als g(x) ( = Berührung der Tangente von oben)
** der Funktionswert f(x) kleiner ist als g(x) ( = Berührung der Tangente von unten).
Dabei ist unter einer "Umgebung von x0" die Menge aller Zahlen x mit
x0 -a < x < x0 +a
zu verstehen (a beliebig, aber fest)."
Diese "Definition" entspricht nicht derjenigen, die man üblicherweise in der Differentialrechnung verwendet. Insbesondere wären "Tangenten" nach dieser Sichtweise oft zwar existent, aber gar nicht eindeutig bestimmt, nämlich etwa in Knickpunkten oder auch in isolierten Punkten eines Graphen. Sogar eine Funktion, deren Graph überhaupt nur aus verstreuten Einzelpunkten besteht, hätte viele "Tangenten", die aber doch kaum zu irgendwas nütze wären. In der Differentialrechnung hat ein Funktionsgraph an einer Stelle xo des Definitionsbereiches nur dann eine Tangente, falls f an dieser Stelle differenzierbar ist. Die Tangente ist dann aber auch eindeutig bestimmt.
Eine Tangente kann eine Funktion auch öfter schneiden, aber sie berührt die Funktion in mindestens einem Punkt. Beispiel: f(x) = x⁴ -2x² - 4. Am Punkt (0;-4) liegt an der Funktion eine waagerechte Tangente, die die Funktion zusätzlich zweimal schneidet.
Die orthogonale Gerade zur Tangente hat die Steigung m₂ = -1/m₁. Den Punkt einsetzen und du erhältst b₂
Die Tangente berührt nur einmal, das stimmt.
Das was du gezeichnet hast ist keine Tangente der Funktion (sondern, wie du sagtest, eine Orthogonale der Tangente) und kann 2 Schnittpunkte mit der Parabel haben - stimmt auch ;)
Gerade ,die senkrecht auf der Tangente steht !2 Schnittpunkte .
Falsch, eine Tangente kann eine Funktion (insgesamt !) auch mehmals berühren.
Beispiel: Die Tangente an die Funktion y = cos(x) im Punkt (0 | 1 ) berührt die Funktion (sogar) unendlich oft, nämlich in allen Punkten ( 2 k π | 1 ), wobei k ∈ ℤ beliebig ist.
Näheres in meiner Antwort.