Wie würdet ihr folgende (Text)Aufgabe zum Thema Integralrechnung mit solch einer Sinus-/Cosinus-Funktion lösen?
a) Wie lauten die Gleichungen der Randkurven f und g?
b) Wie groß ist die Masse der Wippe? (Dichte Kunststoff: 0,7 g/cm³)
2 Antworten
f(x)=cos(x)
Nullstellen x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
Extrema x=k*pi mit k=0,1,2,3..
Wendepunkte x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
f(x)=a-b*cos(pi/2*x)=-b*cos(pi/2*x)+a
hat die Form y=f(x)=a*cos(w*x)+c
a=-b<0 Spieglung an der x-Achse f(0)=a*cos(0)=a*1=a Maximum
c>0 verschiebt auf der y-Achse nach oben
g(x)=u*(1-cos(v*x))=u-u*cos(v*x)=-u*cos(v*x)+u mit W(2/1,5)
hat auch die Form f(x)=a*cos(w*x)+c mit a=-u Spiegelung an der x-Achse
Wegen W(2/1,5) Wendepunkt x=pi/2+k*pi ist auch eine Nullstelle x=pi/2+k*pi
also u=1,5 Einheiten nach oben verschoben
g(x)=-1,5*cos(v*x)+1,5
mit v=w=2*pi/T mit T/2=(2-(-2))=4 Sekunden ist 1 Halbwelle also T=2*4=8
v=w=2*pi/8=0,785.. rad/s
g(x)=-1,5*cos(0,785*x)+1,5 zeichne diese Funktion und prüfe auf Richtigkeit
zu f(x) gegeben 2 Punkte P1(0/1) und P2(2/1,5)
1) f(0)=1=-b*cos(pi/2*0)+a=-b*1+a
2) f(2)=1,5=-b*cos(pi/2*2)+a=-b*(-1)+a
aus 1) 1=-b+a ergibt a=1+b in 2)
1,5=b+(1+b)
1,5-1=0,5=2*b
b=0,5/2=0,25
a=1+0,25=1,25
f(x)=-0,25*cos(pi/2*x)+1,25
Fläche zwischen 2 Funktionen A=integral(f(x)-g(x)
f(x)=obere Begrenzung
g(x)=untere Begrenzung
Integrationsgrenzen obere Grenze xo=2 und untere Grenze xu=-2
Volumen=Grundfläche mal Höhe
V=Ag*h hier Ag=Fläche zwischen den Kurven f(x) und g(x)
Masse=Dichte mal Volumen
m=roh*V
Sind f und g schon gegeben und du sollst nur noch a,b, u und v bestimmen?
und was ist f und was g, bei dir steht bei beidem f.
Aber allgemein berechnest du die Fläche zwischen den Graphen einfach mit der Fläche unter f minus der Fläche unter g.
Und diese Fläche multiplizierst du dann mit der Tiefe der Körpers und fertig