Wie schnell bewegt sich die Erde durch den Raum?

Das ist rudimentäre Mathematik. Die Erde ist eine astronomische Einheit von der Sonne entfernt. Das sind 149.597.870 Kilometer. So genau maust niemand, also sagen wir 150 Millionen km. Also Kreisbahndurchmesser von 300 Mio. km. Mal 3,1416 für den Kreisumfang. Teilst du das entsprechend für die 365 Tage und 24 Stunden, dann bewegt sich die Erde mit rund 108.000 km/h um die Sonne. Sie hat also eine Umfangsgeschwindigkeit auf ihrer Kreisbahn von diesen 108.000 km/h. Schon ein Höllenzahn.

Das wird natürlich noch überlagert von der Umfangsgeschwindigkeit der Galaxis und der Drift der Galaxis innerhalb der lokalen Gruppe.

Einen ruhenden Raum gibt es nicht. Das ist spätestens seit der Relativitätstheorie bekannt, aber die hat das auch "nur" konsequent zuende gedacht, nicht als erste erkannt oder bedacht.
Die Frage ist also sinnlos, genau so wie die Frage nach der Uhrzeit, wenn du den Ort nicht angibst. Hier ist es 11:50, woanders 06:50 oder 17:50.

Außerdem muss bedacht werden, dass die Erde gleichzeitig auf verschiedene Weisen in Bewegung ist: Sie dreht sich um sich selbst, läuft um die Sonne, bewegt sich als Teil des Sonnensystems innerhalb der Milchstraße und wandert als Teil der Milchstraße durchs Universum.

Je größer die betrachteten Längenskalen sind, desto höher ist die Geschwindigkeit der Erde: Die Drehung der Erde um sich selbst, die Erdrotation, verleiht einem Punkt am Äquator eine Geschwindigkeit von etwa 1.670 Kilometer pro Stunde, das sind 464 Meter pro Sekunde. Auf ihrer Bahn um die Sonne hat die Erde bereits eine Geschwindigkeit von fast 30 Kilometern pro Sekunde.

Noch schneller wird es, wenn man unsere Galaxie, die Milchstraße, betrachtet. Die Sonne ist etwa 25.000 Lichtjahre (1 Lichtjahr = circa 9,5 Billionen Kilometer) vom Zentrum der Milchstraße entfernt und braucht für einen Umlauf rund 240 Millionen Jahre. Dabei haben die Sonne und die Erde, die sich als Teil des Sonnensystems mit ihr bewegt, eine Geschwindigkeit von 220 Kilometern pro Sekunde.

Die aus Messungen abgeleitete Summe der verschiedenen Geschwindigkeitskomponenten unseres Sonnensystems, die in unterschiedliche Richtungen zeigen und sich daher teilweise aufheben, beträgt etwa 370 Kilometer pro Sekunde. Die Milchstraße und ihre benachbarten Galaxien bilden die so genannte Lokale Gruppe. Die Geschwindigkeit dieses Galaxienhaufens wurde auf etwa 630 Kilometer pro Sekunde berechnet. Die hier aufgezählten Geschwindigkeitswerte können jedoch nicht einfach zu einer Gesamtgeschwindigkeit addiert werden, da die Bewegungen in unterschiedliche Richtungen ablaufen.

https://www.dlr.de/next/desktopdefault.aspx/tabid-6553/10765_read-24300/

"Wie schnell bewegt sich die Erde durch den Raum?"

"In Bezug auf was?" --- "in Bezug auf den Raum an sich"

Das ergibt so keinen Sinn! Der Weltraum hat keine Balken als allgemeine fixe Markierungen mit Koordinaten zur räumlichen Orientierung.

Wenn wir im irdischen praktischen Alltag eine Geschwindigkeit angeben, unterstellen wir als Bezugspunkt gewöhnlich stillschweigend die örtliche Bodenunterlage unter Vernachlässigung von Erdrotation, Sonnenumkreisung, Sonnenbahn um die Galaxis-Achse .... u.s.w. Wie das gemeint ist, versteht sich gewöhnlich von selbst.

Wenn wir allerdings die Geschwindigkeit einer Ameise angeben wollen, die auf dem Hut eines durch einen fahrenden Zug marschierenden Menschen läuft, dann sollten wir schon das gemeinte Bezugssystem angeben: Hut, Zugabteil, Bahntrasse, Erdachse oder Sonne ... u.s.w.?

Worauf soll sich nun "der Raum an sich" beziehen?

In Bezug auf was?