Wie nah kann man sich an die Sonne ranwagen ohne zu verbrennen?

Wahrscheinlich sehr nahe! 

1) Eintauchen in die Korona würde mit einem Raumfahrzeug evtl. gehen, da die Oberflächentemperatur ja bei "nur" rund 6.000 °C liegt. Die Zeit, bis sich die Sonde oder Kapsel auflöst, ist sehr kurz, aber vielleicht bringt uns die Werkstoffkunde noch weiter.

2) Flüge zur Sonne, bzw. in Richtung Sonne hat es schon gegeben, nämlich bis zum Merkur mit den Raumsonden "Mariner 10" und "Messenger", dazu die schon genannten Flüge der HELIOS-Sonden. Dauert alles ein wenig, war und ist aber technisch machbar, da dem keine naturgesetzlichen Beschränkungen entgegenstehen. 

3) Ein wenig Werkstoffkunde (alt, aber Fakt aus guten alten Büchern, sprich Hardware): Graphit verdampft bei ca. 3.300 °C, Hafniumkarbid bei etwa 4.170 °C. Das ist schon eine Menge und könnte zumindest für einen Vorbeiflug an der Sonne in relativ geringem Abstand reichen.

4) Im Merkurabstand erreicht die Temperatur etwa 220 °C, also für Hafniumkarbid kein Problem und bei verbesserter Klimatechnik vielleicht in ein paar Jahren/Jahrzehnten beherrschbar. Bei 1,6 Mio. km Abstand kämen wir auf 2.500 °C; für eine bemannte Kapsel wohl eindeutig zuviel.
Wir könnten die Zerstörung des Flugkörpers durch Abschmelzkühlung unter Umständen so weit verhindern, dass wir die Ausläufer der Korona erreichen könnten (das aber dann natürlich unbemannt).

5) Aber, jetzt kommt der große Houdini-Trick: Es gibt - technisch - eine Möglichkeit, sich auch bemannt der Sonne zu nähern, sogar innerhalb der Merkurbahn! 

Dieses Verfahren verstößt gegen kein Naturgesetz, sondern ist einfach die Anwendung der Himmelsmechanik - und der Physik. 

Man nehme einen Asteroiden, der groß genug ist und sich auf seiner Umlaufbahn der Sonne entsprechend nähert. Die Sonneneinstrahlung heizt ihn zwar auf und er verliert durch Verdampfung an Masse, aber er wirft auch einen Schatten! Und in diesem Schatten könnten Menschen die Sonne gefahrlos umrunden (na ja, was heißt in der Raumfahrt schon gefahrlos?). 

Die Raumfahrer könnten sich auch in den Asteroiden eingraben. Stichwort hierzu ist IKARUS, ein Asteroid, der sich alle 13 Monate der Sonne innerhalb der Merkurbahn nähert. So etwas wurde schon in den Sechziger? Jahren u. a. von dem SF-Schriftsteller und Raumfahrttechniker Arthur C. Clarke angedacht. 

6) Noch ein Verfahren, das in der Theorie bekannt ist und in der Praxis in Grundzügen schon angewendet wird: Plasmaphysik. Sie beschäftigt sich ja mit hohen Drücken und extremen Temperaturen, wie sie für die Kernfusion auf der Erde benötigt werden (s. Tokamak, Stellarator, ITER). Man könnte Magnetfelder aufbauen, welche die Hitze vom festen Material abhalten.

Auch da ist die Forschung dran. Da gibt es schon Raumfahringenieure und Plasmaphysiker, die sich mit dem Eintritt von Hochgeschwindigkeitsflugkörpern in Planetenatmosphären beschäftigen. Dabei entstehen ja auch heiße Gase bis hin zum Plasma.

Bisher wurden zwei Sonden (Helios 1 und 2) in Richtung Sonne gesendet. Der kleinste Abstand war 43,4 Mio. km also ungefähr auf Höhe der Merkur-Umlaufbahn. Damit die Sonde nicht heiß wurde, wurde sie in eine extrem schnelle Rotation versetzt.

Angeblich will die NASA eine Sonde zum Strahlenkranz der Sonne senden. Dort hat es 1 Mio. Grad Celsius.

Bei bemannten Raumschiffen wird es schon etwas schwieriger, denn neben der feuerfesten Hülle, muss man im Raumschiff ja auch ein entsprechendes Klima schaffen.

Nicht viel näher als die Erdentfernung von der Sonne. Bereits auf dem Richtung Sonne nächstgelegenen Planeten Venus herrschen Temperaturen von mehr als 400°C.

Soweit hoch wirst du wohl nicht kommen... Oder meinst du wie lange?

Ähnlich wie bei einer Hertplatte wird es ab 1,5 metern recht warm, aber verbremnen tust du dich erst bei direktem Kontakt.
MFG
HGE