Frage von sozshldhld, 163

Wie kann ich diese Extremwertaufgabe lösen?

Hey Leute ich bin grad echt am verzweifeln. Das Grundprinzip von Extremwertaufgaben habe ich verstanden jedoch kann ich diese Aufgabe nicht Lösen. China hat zwei 3 m lange und 30 cm breite Bretter und möchte daraus ein 30 cm tiefes Bücherregal mit fünf gleich hohen Fächern bauen. Wie hoch und wie breit wird ein solches Fach wenn sie ein Bücherregal mit maximalem Volumen herstellt? Aufstellen einer Funktion mit mehreren variablen für das Volumen des Regals: VRegal=------------------=---------------; x und h.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 86

Hallo,

ein Regal mit fünf Fächern besteht aus sechs Regalbrettern und zwei Seitenteilen. Die Regalbretter haben jeweils die gleiche Länge x, die Seitenteile haben die gleiche Länge y.

Dann gilt: 6x+2y=6 (denn insgesamt stehen 6 m Bretter zur Verfügung).

Das ist die Nebenbedingung.

Du kannst die Gleichung durch 2 teilen:

3x+y=3 

und nach y auflösen:

y=3-3x

Nun geht es ans Volumen:

Das ist das Produkt aus der Tiefe, 0,3 m, einem Regalbrett, also der Breite, x und einem Seitenteil, also der Höhe, y.

V=0,3xy

Da wir y durch x ausdrücken können (dazu diente die Nebenbedingung), können wir schreiben: 

V=0,3*x*(3-3x), was nach Klammerauflösung 

V=0,9x-0,9x² ergibt.

Dieses Volumen stellt unsere Zielfunktion dar, die einen maximalen Wert annehmen soll.

Dazu bilden wir die Ableitung:

V'(x)=0,9-1,8x=0 (da V''(x)=-1,8, also immer negativ ist, ist klar, daß es sich bei der gefundenen Extremstelle um ein Maximum handeln muß).

1,8x=0,9

x=0,5

y=1,5 (da y=3-3x)

Damit hat das Regal einen Inhalt von 0,3*0,5*1,5=0,225 m³

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Wechselfreund ,

5 oder 6 Bretter ist in der Aufgabe nicht gesagt. Kann sein, dass 6 gemeint sind. Trotzdem denke ich, dass es bei gegebener Tiefe einfacher ist, nur die Querschnittsfläche zu maximieren!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 61

Die Aufgabenstellung ist nicht ganz klar.
Soll auch noch ein Rücken mit herauskommen (also eine Rückfläche an der Wand)? Soll es an der Seite Wände geben?
Dann wird es natürlich etwas knapp.
Die Tiefe ist mit 30 cm wohl vorgegeben?
Aber ansonsten dürfen die beiden Bretter zerlegt werden, oder wie?

Nur mit dem Wissen darüber kann man den Quader in Volumen und Oberfläche (Nebenbedingung) herstellen.

Wenn die Sache mit Rück- und Seitenwänden offenbliebe, bräuchte man die 6 Meter nur so zu zersägen, dass es 5 Zwischenräume gäbe, also sechs Böden.
Aber das ist ja trivial. Das ginge im Kopf zu rechnen.

Kommentar von sozshldhld ,

Ja die Aufgabenstellung ist auch mein Problem ich versteh gar nicht genau was die wollen. Deswegen kann ich dir keine weiteren Infos geben aber danke. ;)

Kommentar von Willy1729 ,

Ich glaube, wenn Du mit diesem Material eine Rückwand bauen willst, paßt nicht mehr allzuviel hinein. Für Rückwände werden normalerweise auch keine Bretter verwendet, sondern Sperrholz).

Deshalb gehe ich davon aus, daß auf eine Rückwand verzichtet werden soll.

Liebe Grüße,

Willy

Kommentar von Volens ,

Mein Gedanke ist auch: Seitenwände,
sonst wäre das Volumen keine Funktion.
Wir haben dann für die Oberfläche (auch 6 Bretter unterstellt):

6 * x * 30 + 2h * 30 = 2 * 300 * 30    
mit x als Breite und h als Höhe des gesamten Regals.
Die Tiefe bleibe konstant mit 30.
Das ist:

h = 300 - 3x       oder in Volumen  V = x * h * 30 eingesetzt

V = x * (300 - 3x) * 30

Wenn ich das ableite und gleich 0 setze, erhalte ich die Breite
x = 50 cm        und die Höhe
h = 150 cm     aus der obigen Gleichung.

Das ist wohl auch Willys Ergebnis, daher plausibel.
Aber er war schneller!

Antwort
von Wechselfreund, 61

Da die Tiefe mit 30cm vorgegeben ist, reicht es, die Stirnfläche zu maximieren. Die beiden Seiten y plus Regalbretter x sollen 6 m sein!

5x +2y = 6 (Nebenbedingung)

Die Fläche A = x · y soll maximal werden!

Einsetzen führt auf x = 0,6 und Y = 1,5.

Die Lösung passt zur Brettlänge 3m ohne Verschnitt, sonst wäre sie unbrauchbar!

Kommentar von sozshldhld ,

Danke :) vielen Dank hast mir echt geholfen. <3

Kommentar von Willy1729 ,

Du brauchst sechs Bretter, sonst ist das Regal oben offen und die Bücher im obersten Fach verstauben.

Ansonsten ist es ein guter Gedanke, sich einfach auf die maximale Fläche zu beschränken, da die Tiefe ohnehin nicht zu ändern ist.

Willy

Kommentar von Wechselfreund ,

Unsere Kommentare haben sich überschnitten! Danke trotzdem. (Meine Bücher verstauben natürlich nicht, weil ich ständig darin lese ;)  )

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