Extremwertaufgabe lösen Hilfe?
hi, kann mir jemand den Rechenweg folgender Aufgabe erklären?:
Für welche Säule mit quadratischer Grundfläche und einer Oberfläche von 150dm² ist das Volumen möglichst groß? Berechne das Volumen.
4 Antworten
Bei solchen Aufgaben hast Du immer einen Teil gegeben (Nebenbedingung), mit dessen Hilfe Du das Gesuchte maximieren sollst.
Hier ist die Oberfläche einer Säule gegeben, dessen Höhe Du nicht kennst.
Die Formel für die Oberfläche lautet (Grundseite nenne ich mal a):
O=2a²+4ah [2a²=2 mal die Grundfläche (unten und oben der Säule); 4ah=Fläche der Seitenflächen]
gesucht ist das Volumen: V=a²h
Jetzt formst Du die Nebenbedingung nach h um und setzt das dann in die Formel des gesuchten ein, und das Volumen hängt nur noch von der einzig verbliebenen Unbekannten a ab:
150=2a²+4ah |-2a²
150-2a²=4ah |:4a
(75-a²)/(2a)=h
einsetzen: V=a²(75-a²)/2a=a(75-a²)/2=-1/2a³+75a
da V nur noch von a abhängt schreibt man: V(a)=-1/2a³+75a
Jetzt von V(a) das Maximum ermitteln (Ableiten, Null setzen, usw.).
Rechnest Du noch das h aus wirst Du sehen, dass die Säule in Würfelform ihr maximales Volumen hat...
Nein.
V'(a)=-3/2a²+75
V'(a)=0 <=> -3/2a²+75=0 |+3/2a²
3/2a²=75 |:(3/2)
a²=50 |Wurzel ziehen
a=+-Wurzel(50)
Da a eine Länge ist, gilt nur die positive Lösung a=Wurzel(50)=7,07
=> V(7,07)=353,55
V(7,07)=7,07² * h
353,55=7,07² * h |:7,07²
7,07=h
=> Die Säule mit dem größten Volumen hat die Maße 7,07 * 7,07 * 7,07, also Würfelform.
Ach Du Schreck! Erkenne gerade, dass ich V(a) falsch ausmultipliziert habe. Es muß hinten nicht +75a, sondern +37,5a heißen (habe vergessen durch 2 zu teilen...), dann kommt letztendlich für a und h der Wert 5 raus, nicht 7,07!!! Sorry.
(Zur Probe kannst (oder besser: solltest) Du immer Deine Lösungen in die Nebenbedingung einsetzen und so prüfen, ob die Gleichung dann noch stimmt. Beim Einsetzen von 7,07 ist das nicht der Fall.
Man stelle sich vor, dass man l = 4 m Draht besitzt. Nun formt man aus dem Draht ein Quadrat aus 4 gleich langen Seiten. Die innere Fläche des Quadrates entspricht dementsprechend:
A = a² = (1/4 * l)² = 1 m²
Wenn man nun ein Rechteck aus dem Draht bildet, sagen wir mal eine Länge a von 1,5 m, dann ergibt sich die Breite b zu 0,5 m, denn:
l = 2 * (a + b) = 2a + 2b = 2 * 1,5 m + 2 * 0,5 m = 4 m
Passt.
Berechne ich nun die innere Fläche, folgt:
A = a * b = 1,5 m * 0,5 m = 0,75 m²
Gegenüber dem Quadrat sinkt also bei gleichem Umfang die innere Fläche, weil man eine Seite an Draht bevorzugt hat. Wenn man es ganz weit spinnt, kann man auch die eine Seite 4 m geben.
Dann hätte man nur eine Seite mit einer Länge von 4 m, aber keine weiteren Seiten. Da dies mathematisch auch ein Rechteck entspricht mit der Breite b von 0 m ergibt sich die innere Fläche zu:
A = 4 m * 0 m = 0 m²
Man sieht, je mehr sich die Seiten unterscheiden, umso geringer wird die innere Fläche.
In der Mathematik gilt für die Fläche und das Volumen analog: Je mehr sich die Seiten unterscheiden, desto geringer wird der Wert der berechnet wird (Oberfläche, Volumen).
Für deine Aufgabe gilt dies auch. Jedoch hier nun, dass du die Oberfläche gegeben hast und auf das maximale Volumen schließen sollst.
Wie man den Maximalwert bekommt, habe ich bereits gesagt: Die Längen müssen alle gleich sein.
Es gilt nun von der Oberfläche auf die Längen zu schließen, den man alle die gleiche Länge zuweist und dann berechnet man hieraus das Volumen.
Du hast eine Oberfläche von 150 dm². Hier wird gesagt, dass es eine Säule sein soll. Dies kann trügerisch sein, da eine Säule eigentlich eine längliche Form voraussetzt.
Das größe Volumen bekommt man jedoch mit einem Würfel.
Hierfür würde Folgen:
A = 150 dm² = 6 * a²
a = Wurzel(A/6) = Wurzel(150 dm²/6)
a = 5 dm
Volumen von einem Würfel folgt aus:
V = a³ = 5³ dm³ = 125 dm³
Soll es wirklich eine "Säule" sein, wobei die Höhe länger sein sollte als die Breite, so folgt zwangsweise:
V < 125 dm³
als maximales Volumen.
Die Angabe ist nicht ganz eindeutig. Ist mit der "Oberfläche" nur die Mantelfläche gemeint, oder die Oberfläche des gesamten Quaders?
Nimm an, die Kantenlänge der Grundfläche ist a und die Höhe ist h. Wie berechnet sich daraus die Oberfläche?
Diese Formel löst du nach h auf und setzt h in die Formel für das Volumen des Quaders ein (wie lautet diese)?
Nun mittels Ableitung das Maximum suchen.
Hallo PravLisa,
nimm mal die Antwort von Rhenane
Wenn allerdings bekannt ist, dass die Würfelform das optimale Volumen bietet, kannst du auch umgekehrt vorgehen:
Der Würfel hat 6 Flächen, jede einzelne also 25 Quadratdezimeter. Die Seitenlänge ist dann 5 dm. Damit ist das Volumen 5 x 5 x 5
Hi, ich habe die Aufgabe so berechnet wie du es erklärt hast und ich bin auf a=10 h= -5/4 und ein Volumen von -125 gekommen... das kann nicht stimmen oder?