Mathe Extremwertaufgabe Volumen eines Quaders berechnen?
Wie berechnet man solche Aufgaben? Quadratische Säule mit 48 cm Kantenlänge. Wie sind die Kanten und die Höhe der Säule zu wählen, damit das Volumen optimal wird? Ich erwarte auf diese Frage keine Lösung, sondern lediglich eine Hilfestellung. Danke!
6 Antworten
Hallo,
Du suchst also einen Quader mit quadratischer Grundfläche, dessen 12 Kanten zusammen die Länge von 48 cm haben und dessen Höhe so gewählt werden soll, daß sein Volumen maximal wird.
Wenn der Quader eine quadratische Grundfläche hat, besteht er aus zwei Arten von Kanten a und b.
Die acht gleich langen Kanten a bilden das Boden- und das Deckenquadrat, die vier gleich langen Kanten b ergeben die Höhe.
Somit besteht der Quader aus 8 Kanten a und 4 Kanten b, deren Summe 48 ergibt.
Es gilt also:
8a+4b=48
Du kannst durch 4 kürzen:
2a+b=12
und nach b auflösen:
b=12-2a
Das ist die Nebenbedingung, unter der das Volumen maximal werden soll.
Das Volumen dieses Quaders wird nach der Formel Grundfläche mal Höhe berechnet:
V=a²*b
b kannst Du aufgrund der Nebenbedingung durch 12-2a ersetzen:
V=a²*(12-2a)=12a²-2a³
Du hast nun eine Funktion f(a), die das Volumen des Quaders nur noch in Abhängigkeit von a angibt:
f(a)=12a²-2a³
Maximal wird diese Funktion an der Stelle, an der ihre Ableitung gleich Null wird:
f'(a)=24a-6a²=0
6a ausklammern:
6a*(4-a)=0
Das wird entweder Null, wenn a gleich Null wird, was keinen Sinn macht, weil ein Quader mit der Kantenlänge Null kein Quader ist, oder wenn a=4 ist.
Wenn a=4, dann b=4, denn b ist laut Bedingung 12-2a=12-8=4
Vorsichtshalber kannst Du den Wert noch in die zweite Ableitung eingeben.
Wird diese für a=4 negativ, hast Du es tatsächlich mit einem Maximum zu tun:
f''(a)=24-12a
f''(4)=24-48=-24
Der Wert ist negativ, somit liegt bei a=4 ein Maximum vor.
Der Quader hat also das Volumen 4²*4 cm³=64 cm³.
Mehr geht bei den vorgegebenen Bedingungen nicht.
Probe für die Nebenbedingung: 8*4+4*4=32+16=48, stimmt also.
Das optimale Volumen wird demnach bei einem Würfelförmigen Quader mit a=b=4 cm Kantenlänge erreicht.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen vielen Dank! Die Antwort war sehr hilfreich und auch verständlich.
Das ist keine klar gestellte Aufgabe.
1.) Für eine quadratische Säule sind zwei Kantenlängen charakteristisch: die Grundkante a des Grundquadrates und die Höhe h. Welche davon soll nun gleich 48 cm sein ?
2.) Was soll hier mit "optimal" gemeint sein ?
Es ist gemeint, dass es 12 Kanten gibt, welche alle zusammen 48 cm ergeben. Wir sollen diese Kanten jetzt so wählen, dass wir ein möglichst großes Volumen erhalten.
Die Aufgabe ist etwas unverständlich formuliert, aber ich versuche es trotzdem:
Zuerst musst eine Gleichung aufstellen, in der das V (= Volumen) auf der einen Seite und der ganze Rest mitsamt Kanten und Höhe usw. auf der anderen Seite.
Mithilfe weiterer Gleichungen und der Tatsache, dass es einen Zusammenhang zwischen sämtlichen Variablen gibt, ist es möglich, Kanten und Höhe in einer Variablen zusammenzufassen.
Jetzt hast du die Variable V und die zusammengefasste Variable U.
Nun wird V zu f(x) und U zu x (Das Volumen muss alleine stehen!!!)
Von dieser Funktion suchst du dir jetzt den höchsten Wert (mithilfe der Ableitung, aber das dürftest du bereits in Mathe gemacht haben).
Dabei musst du aufpassen, dass es gegebenenfalls nur einen beschränkten Bereich gibt, aus dem du den Hochpunkt aussuchen darfst.
Ist vielleicht nicht die beste Antwort, aber ich hoffe, es ist hilfreich.
So, wie du die Frage stellst, ergibt sie keinen Sinn!
Was ist ein "optimales Volumen"?
Extrewertaufgaben funktioniern in der Regel so:
Man hat eine Hauptbedingung (z.B. in dem Fall: ein Quader mit einem bestimmten Volumen)
Dann hat man eine Nebenbedingung (z.B. möglichst geringe Oberfläche)
Im Normalfall hat man dann 2 Variablen, die über die Hauptbedingung zusammenhängen. Über diesen Zusammenhang formuliert man die Nebenbedingung und ermittelt deren Extremwert.
Da du nicht angibst, was du unter "idealem Volumen" verstehst, kann man hier nicht weiterhelfen. Da auch die Kantenlänge gegeben ist, kann nur noch die Höhe gefragt sein, diese hängt allerdings direkt über die Kantenlänge mit dem Volumen zusammen, so dass es hier keinen Freiheitsgrad mehr für eine Nebenbedingung mehr gibt.
Ich könnte mir lediglich vorstellen, dass die Aufgabenstellung lautet:
Wie ist die Höhe zu wählen, damit das Volumen im Verhältnis zur Oberfläche maximal wird.
Das sind aber nur Spekulationen auftgrund der mangelhaften Fragestellung!
Dann sind die 48 cm aber nicht die Kantenlänge der quadratischen Säule, sondern die Summe der Kantenlängen des Quaders.
Oben schreibst du außerdem vom Volumen, nun von der (Ober-)Fläche - was denn nun?
Da der Quader eine Quadratische Grundfläche hat, haben 8 Kanten die Länge a (Seitenlänge des Quadrats) und 4 Kanten die Länge h (Höhe des Quaders)
Es gilt also: 8a + 4h = 48 cm
Die Oberfläche des Quaders ist:
O = 2 a² + 4 ab
Weitere Vorgangweise wie oben beschrieben.
Ich schätze mal die Oberfläche hat ein Maximum. Denn im Einklang mit der Nebenbedingung könnte ich ja setzen x = y = 0 ===> O = 0
Hauptbedingung
O ( x ; y ; z ) := x ( y + z ) + y z = max ( 1a )
Nebenbedingung
S ( x ; y ; z ) := x + y + z = 48 = const ( 1b )
Zum Einsatz kommt das Verfahren von Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino ( Alle gebildeten Menschen machen das so. )
Den ===> Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich k ; demnach haben wir die ===> Linearkombination zu bilden
H ( x ; y ; z ) := O ( x ; y ; z ) + k S ( x ; y ; z ) ( 2 )
Notwendige Bedingung für Maximum: Der ===> Gradient von H verschwindet.
H_x = y + z + k = 0 ( 3a )
H_y = x + z + k = 0 ( 3b )
H_z = x + y + k = 0 ( 3c )
Der Dummy k intressiert uns ja überhaupt nicht; wir eliminieren ihn über das Gleichsetzungsverfahren in ( 3ab )
x + z = y + z ===> x = y ( 4 )
Analog beweist man x = z ===> Die Säule ist ein Würfel.
Es gibt 12 Kanten (zusammen ergeben sie 48 cm). Wir sollen die Kanten so wählen, dass die Fläche möglichst groß ist.