Ähnlichkeit...
Wie verändern sich das Volumen und der Oberflächeninhalt eines Quaders wenn man jede Kantenlänge verdreifacht??
8 Antworten
Volumen eines Quaders:
V = a * b * c
Vervielfacht man die Kantenlängen jeweils um den Faktor x, dann gilt offenbar:
Vx = (a * x) * (b * x) * (c * x)
= a * b * c * x^3
.
Setzt man nun Vx ins Verhältnis zu V so ergibt sich:
Vx / V = ( a * b * c * x^3 ) / ( a * b * c ) = x^3 / 1
.
Das Volumen des vergrößerten Quaders ist also um den Faktor x^3 größer als das des ursprünglichen Quaders.
.
Für die Verdreifachung der Seitenlängen (x = 3) ergibt sich somit eine Vergrößerung des Volumens um den Faktor 3^3 = 27.
.
Oberfläche eines Quaders:
O = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c =
2 * (a * b + a * c + b * c)
.
Vervielfacht man die Kantenlängen jeweils um den Faktor x, dann gilt offenbar:
Ox = 2 * (a * x * b * x + a * x * c * x + b * x * c * x)
= 2 * x^2 (a * b + a * c + b * c)
.
Setzt man nun Ox ins Verhältnis zu O so ergibt sich:
Ox / O = 2 * x^2 (a * b + a * c + b * c) / (2 * (a * b + a * c + b * c)) = x^2 / 1
.
Die Oberfläche des vergrößerten Quaders ist also um den Faktor x^2 größer als das des ursprünglichen Quaders.
.
Für die Verdreifachung der Seitenlängen (x = 3) ergibt sich somit eine Vergrößerung der Oberfläche um den Faktor 3^2 = 9.
Die Oberfläche geht mit dem Quadrat der Seitenlänge, also verneunfacht sie sich.
Das Volumen geht mit der dritten Potenz, also versiebenundzwanzigfacht es sich.
Volumen eines Quaders:
V = a * b * c
Vervielfacht man die Kantenlängen jeweils um den Faktor x, dann gilt offenbar:
Vx = (a * x) * (b * x) * (c * x)
= a * b * c * x^3
.
Setzt man nun Vx ins Verhältnis zu V so ergibt sich:
Vx / V = ( a * b * c * x^3 ) / ( a * b * c ) = x^3 / 1
.
Das Volumen des vergrößerten Quaders ist also um den Faktor x^3 größer als das des ursprünglichen Quaders.
.
Für die Verdreifachung der Seitenlängen (x = 3) ergibt sich somit eine Vergrößerung des Volumens um den Faktor 3^3 = 27.
.
Oberfläche eines Quaders:
O = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c =
2 * (a * b + a * c + b * c)
.
Vervielfacht man die Kantenlängen jeweils um den Faktor x, dann gilt offenbar:
Ox = 2 * (a * x * b * x + a * x * c * x + b * x * c * x)
= 2 * x^2 (a * b + a * c + b * c)
.
Setzt man nun Ox ins Verhältnis zu O so ergibt sich:
Ox / O = 2 * x^2 (a * b + a * c + b * c) / (2 * (a * b + a * c + b * c)) = x^2 / 1
.
Die Oberfläche des vergrößerten Quaders ist also um den Faktor x^2 größer als das des ursprünglichen Quaders.
.
Für die Verdreifachung der Seitenlängen (x = 3) ergibt sich somit eine Vergrößerung der Oberfläche um den Faktor 3^2 = 9.
Hi Lilo,
wenn du noch die Formel für die Berechnung der Oberfläche und des Volumens im Kopf hast, kannst du dir die Frage ganz leicht selbst beantworten.
Schau, die Formel für das Volumen eines Quaders ist V=a^2b. Um die Oberfläche zu berechnen benutzt man die Formel: O=2a^2 + 4ab.
Jetzt verdreifacht man jede Kantenlänge, also wird in den Formeln jedes a -> 3a und jedes b -> 3b.
Aus den Formel wird jetzt also: V=(3a)(3a)(3b)=27a^2b und O = 2(3a)^2 + 4(3a)(3b) = 9(2a^2 + 4ab).
Das heißt also, wenn du jede Kante eines Quaders verdreifachst, wächst das Volumen auf das 27-fache seines Ursprungs und die Oberfläche verneunfacht sich.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
MfG Bayer04
Du hast einen Quader mit quadratischem Querschnitt betrachtet.
Gefragt wurde jedoch nach einem allgemeinen Quader. Gelten die von dir bestimmten Faktoren auch dort?
Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 1 ist 1.
Die Oberfläche eines Würfel mit der Kantenlänge 1 ist 6.
Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 3 ist 27 (3x3x3).
Die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 3 ist 54 (3x3x6).
Du hast nur einen ganz speziellen Quader, nämlich einen Würfel betrachtet.
Gefragt wurde jedoch nach einem allgemeinen Quader. Gelten die von dir bestimmten Faktoren auch dort?