Wie kann ich begründen, dass die Funktion fk keine Extremstelle oder Wendestelle hat? Ohne Rechenweg?
Das wäre mega lieb, wenn mir es jemand erklären kann ! :)
Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk(x) = (k*e^x-1)/k
.
5 Antworten
e^x - 1/k steht da nach dem Kürzen.
nach dem Ableiten ist 1/k weg
jede ! Ableitung heißt
dann
f^n(x) = e^x
e hoch x hat aber keine Nullstelle(n) .
Schon fertig mit der Begründung
PS
Warum kann man nicht mehr Klammer benutzen , dann muss man die Funktion nicht extra interpretieren !
Deine Funktion f kann auch geschrieben werden als:
f zu k von x = (e^x) - (1/k)
für k von -2, von -1, von 1 und von 2 siehst Du hier ein Bild:
Kannst Du ein solches Bild mit Deinem grafischen Taschenrechner anzeigen lassen, oder kannst Du mit Deinem wissenschaftlichen Taschenrechner Wertetabellen berechnen, die Dir helfen das Bild per Hand zu malen?
Gemäß der Bilder komme ich beim integrieren entweder auf minus unendlich oder auf plus unendlich, je nachdem, ob ich k als Scharfaktor mit positiver oder negativer Asymptote wähle.
Kein Problem. k betrachte ich einfach als zweite Konstante, die nicht 0 ist.
Deine Funktion ist also nur noch abhängig von x.
Was direkt auffällt:
ke^(x-1)
Kann nicht null werden, auch nicht in der unendlichsten Ableitung. e^ irgendwas bleibt immer stehen und ist nie null. Daher ist f'(x) = 0 und f''(x) = ausgeschlossen. Hier lässt sich k übrigens kürzen, wenn du es so gemeint hast.
Zweiter Fall: Falls ke^x - 1 im Zähler gemeint ist:
Die -1 fällt bei der nächsthöheren Ableitung sowieso raus, darauf brauchst du gar nicht mehr zu schauen.
k darf hier keinesfalls 0 sein, weil in der Ursprungsfunktion durch k dividiert wird.
Ich Liste dir hier beide Fälle auf wie die -1 gemeint sein könnte, weil die meisten Kandidaten vergessen die Klammer um den Exponenten, die ist wichtig, um zu zeigen was noch dazu gehört! So wie du es geschrieben hast, gilt nur der zweite Fall.
Edit: Bild gesehen, der zweite Fall ist für dich interessant.
Ich habe Kommentar noch ergänzt.
Die Asymptote ist für x -> -∞ der Fall. Wenn du e^x für x gegen Minus unendlich laufen lässt, strebt der e^x Teil gegen Null.
Also kann nur noch
asym (k) = (-1)/k stehen bleiben.
Weil für x gegen Minus unendlich e^x gegen Null geht, erübrigt sich das k im Zähler.
(ke^x - 1)/k
für e^x -> 0
(k*0 -1)/k
(-1)/k
Achso, du willst nur die Fläche, gar nicht gelesen haha.
Wenn du deine Asymptote in Abhängigkeit von k hast (hoffe ich habe nichts falsch gemacht!)
Dann kannst du die ja mal integrieren und deine Grenzen einsetzen. Ich weiß nicht ob dir das etwas bringt, bin mir hier selbst unsicher :D
PS: du hast -∞, dann würde ich im späteren Ergebnis schauen, ob sich ein Teil des Ergebnisses erübrigt. Warte vielleicht noch ne andere Antwort ab. Es wird bestimmt jemand bei meinem Kommentar hier einen roten Kopf kriegen und dir zur Hilfe schreiten.
Asymptote 0.5 für k=-2:
- Lim[ f_k | x -> -inf ] = 0.5
- Lim[ x -> -inf ] (e^x) - (1/k) = 0.5
- 0 - (1/k) = 0.5
- -(1/k) = 0.5
- -1/0.5 = k
- -2 = k
Weil dir bekannt ist, dass die e-Funktion weder Extremstellen noch Wendepunkte hat.
Übrigens: k kann man kürzen und dieses kleine -1 ist nur eine Verschiebung und ändert nicht an der e-Funktion.
Ich hoffe du hast es richtig geschrieben und -1 steht NICHT im Nenner.
einmal so : und da die Ableitungen alle e^x heißen, kann man auch mit Nullstellen argumentieren.
Ich danke Ihnen !!!!
Ich habe nur eine kurze frage und zwar habe ich die Asymptote in Abhängigkeit von k. Doch ich weiß jetzt nicht wie ich die Fläche ausrechnen soll? Ich kann keine Funktionen im Graphen sehen, wenn sie einen Parameter besitzen.
(Die Aufgabe habe ich ergänzt) ;)