Extremstelle bei Funktionenschar?
Hallo zusammen! Ich verstehe meine Matheaufgabe nicht... Wir hatten das Thema Funktionenschar noch nie und ich hab mir erst mal angeschaut, wie man die ableitet und das kann ich jetzt auch, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich bei der Aufgabe verfahren soll.
Das ist die Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f(x) = x^3 + ax^2 - (a+1) und a Element der reellen Zahlen, a ≠ 0. Alle Funktionen besitzen eine vom Parameter a unabhängige Extremstelle x E. Bestimme diejenigen Werte a, für die der zugehörige Extrempunkt (x E | f a (x E)) ein Tiefpunkt ist.
("f a" etc. soll heißen, dass das "a" da nach untengestellt sein sollte).
Für einen Ansatz oder eine Erklärung wäre ich sehr dankbar!
5 Antworten
>Das ist die Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f(x) = x^3 + ax^2 - (a+1) und a Element der reellen Zahlen, a ≠ 0. Alle Funktionen besitzen eine vom Parameter a unabhängige Extremstelle x E.
Extremstellen findet man durch die erste Ableitung von x^3 + ax^2 - (a+1):
3x²+2ax = 0
Eine Lösung ist mal x=0
Die andere Lösung kriegt man durch 3x+2a = 0 und das liefert x=-2a/3
Dieser Extrempunkt ist von a abhängig, scheidet daher aus.
Wir müssen und nur noch die Stelle x=0 ansehen. Die zeite Ableitung ist dort
y'' = 6x+2a
Ein Tiefpunkt verlangt y''>0, also muss sein a > 0
Bestimme die Extremstellen der Funktion so, wie bei anderen Funktionen auch. Das a ist einfach eine Konstante, die du beim Ableiten wie eine feste, aber unbekannte Zahl behandelst. Ein Tiefpunkt ist die Extremstelle, wenn die zweite Ableitung an der Stelle positiv ist. Leite also noch einmal ab, und dann löst du die Ungleichung
Ene Kurvenschar ist einfach eine (unendliche) Menge von Funktionen mit gemeindamem Aufbau, was man damit ausdrückt, dass man einen Parameter hinzufügt, meistens a. Der ist aber eine Zahl und wird auch so behandelt.
fₔ(x) = a x² mit a in ℕ und a>0
sind alle quadratischen Parabeln mit positiven, ganzen Faktoren:
x², 2x². 3x² usw.
Gemeinsame Eigenschaften: alle gehen durch den Ursprung, sind symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet.
Deine Kurvenschar ist etwas komplizierter.
fₔ(x) = x³ + ax² - (a+1)
Das kann man ableiten:
fₔ'(x) = 3x² + 2ax
Extremstellen:
3x² + 2ax = 0
x (3x + 2a) = 0 ...... Satz vom Nullprodukt
Eine Extremwert ist bei x = 0, der andere:
3x + 2a = 0
3x = -2a
x = -2a/3
Wie immer bildest du jetzt die 2. Abletung, setzt die x-Werte ein und erfährst nicht nur für eine Parabel, sondern für alle, wo sie ihren Hoch- oder Tiefpunkt haben.
Wenn noch was unklar ist, frag ruhig.
Ich verstehe den Vorgang, aber nicht wirklich, was mir das bringt. Da kommt beim Hochpunkt -2a raus und beim Tiefpunkt 2a, wenn ich das richtig gerechnet habe. Ich brauche ja nur den Tiefpunkt, aber wenn ich da für a zum Beispiel einfach -5 einsetze, komme ich ja wieder auf eine negative Zahl und für einen Tiefpunkt muss x ja größer 0 sein.
Du setzt nicht einfach eine Zahl ein, sondern du entnimmst den Parameter a aus der Gleichung der Schar. Wenn dort a = -5 stehen sollte, nur dann nimmst du dafür auch -5. Dann kannst du im Weiteren die wenigen Gleichungen verwenden, die du einmal ausgerechnet hast und erhältst deine Erkenntnisse, ohne für diese spezielle Funktion noch einmal eine Kurvendiskussion ausführen zu müssen.
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
fa(x)=x³+a*x²-(a+1) mit (a+1)=k=konstant
f´a(x)=0=3*x²+2*a*x dividiert durch 3
0=x²+2/3*a*x hat die gemischtquadratische Form mit q=0 0=x²+p*x Nullstellen
x1=0 und x2=-p
x1=0 und x2=-(2/3*a)=-2/3*a
f´´a(x)=6*x+2*a
f´´a(0)=6*0+2*a=(2*a)>0 dann Minimum → a>0 an der Stelle x=0
f´´a(-2/3*a)=6*(-2/3*a)+2*a=-12/3*a+2*a=-4*a+2*a=a*(2-4)>0 wenn a<0
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>Alle Funktionen besitzen eine vom Parameter a unabhängige Extremstelle
welches x wird das wohl sein?
>Bestimme diejenigen Werte a, für die der zugehörige Extrempunkt (x E | f a (x E)) ein Tiefpunkt ist.
Was ist die Bedingung für einen Tiefpunkt?
Ja, die Bedingung ist, dass die zweite Ableitung > 0 ist. Die zweite Ableitung ist: 6x + 2a. Wenn ich das dann einsetze und löse, komme ich auf x > -1/3 a. Aber ist das dann schon mein Ergebnis oder muss ich noch mehr rechnen?
Das ist dein Ergebnis.
Denn ohne es für eine einzelne Kurve durchzurechnen, kannst du a aus der Funktionsgleichung nehmen. Wenn x > -a/3 ist, weißt du sofort, dass dort ein Minimum ist.
Okay, also 2 mal abgeleitet müsste das ja dann f''a (x) = 6x + 2a sein und wenn ich die Ungleichung dann löse kommt raus: x > - 1/3 a . Ist das einfach mein Ergebnis oder muss ich noch was machen?