Nullstellen von Parameter abhängig?

Die Aufgabenstellung lautet: begründe oder widerlege diese Aussage: „Für alle a besitzt fa(x)= 0,75x^2+ax-8 genau zwei nullstellen“

Wie berechne ich ob die Nullstellen von dem Parameter abhängig sind?

Danke

Answer 1

[nobytree2]

Genauso, wie wenn kein "Parameter" vorhanden wäre. Du rechnest einfach alles so, wie Du es kennst.

0 = 0,75x²+ax-8 = 3/4x²+ax-8 | :3/4

0 = x² + 4/3ax - 32/3

Also

$x_{1,2\ =\ -k\ \pm\ \sqrt{\frac{k^2}{4\ }-l\ }}$

und

k = 4/3a, l = 32/3

somit x = -4/3a +/- Wurzel ( 4a²/9 - 32/3)

oder quatratische Erweiterung:

0 = (x + 2/3a)² - (2/3a)² - 32/3

x = -2/3a +/- Wurzel (4a²/9 - 32/3)

Comments

[nobytree2]

Die Formel ist natürlich x1,2 = -k/2 +/- Wurzel (...)

Ärgerlich, ein Fehler.

[aoelil]

danke

Answer 2

[TechnikSpezi]

Berechne die Nullstellen erst einmal wie üblich. Dabei ist das a also nichts anderes als irgendeine Zahl.

Mit der pq-Formel würde es so gehen:

fa(x) = 0,75x² + ax - 8 |:0,75

$fa\left(x\right)=x^2+\frac{4}{3}ax-\frac{32}{3}$

Jetzt wendest du die pq-Formel an. Zwei Lösungen gibt es bei der pq-Formel immer dann, wenn die Diskriminante positiv ist. Die Diskriminante ist der Radikand, also der Wert unter der Wurzel. Der darf weder null (dann wäre es eine Lösung) noch negativ (dann gäbe es gar keine Lösung) sein, damit die Behauptung war wäre. Demnach musst du eben die Diskriminante (also den Term unter der Wurzel) genauer anschauen und gucken, ob das passt.

Comments

[aoelil]

also ich war schon bis 0=0.75x^2+ax-8
Dann die Diskriminante:
D=a^2-4*0,75*(-8)
D=a^2+24

Jetzt wollte ich eigentlich
D>0 rechnen und dann nach a auflösen aber das geht nicht. was ist jetzt machen muss verstehe ich nicht ganz

[TechnikSpezi]

@aoelil

Wie kommst du denn auf a² ohne einen Vorfaktor? Du quadrierst doch (4/3)*a, das ergibt (16/9)a². Und hinten dran ist das -q, was zu +32/3 wird.

Ich glaube du hast vergessen, bei der pq-Formel zu Beginn durch 0,75 zu teilen, da sie vor dem x² stehen. Der Vorfaktor muss 1 sein, also teilst du durch die 0,75. Dann müssten sich deine Zahlen auch ändern.

[aoelil]

wir haben die pq formel nicht gelernt sondern nur die mitternachtsformel und unter der wurzel der mitternachtsformel also der diskriminante steht b^2-4*a*c b ist in dem fall a also a^2-4*0.75*(-8)

[TechnikSpezi]

@aoelil

Achso. Dann kann ich dir da leider nicht großartig weiterhelfen^^.

[nobytree2]

@TechnikSpezi

Es ist einfach noch ein Divisor unter der Formel.

Wenn man ax²+bx + c hat, dann lautet die Formel x1,1 = -c/2 +- Wurzel(c² -4ab)/2a

Dennoch ist Normalform mit einem "parameterlosen" x² immer besser.

[aoelil]

danke trotzdem :)