Wie bestimme ich HP und TP?
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe: f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x
und die 1. Ableitung ist ja f´(x)= 3x^2 - 12x + 9 nun müsste ich ja um den HP und TP auszurechnen die Ableitung erst einmal gleich 0 setzten. Nun ist meine Frage wie ich es bei dieser Aufgabe mache. Bei z.B. f´(x)= 2x + 4 ist mir klar wie es geht, da wäre es ja 0 = 2x + 4 ; -4 = 2x ; -2 = x , aber ich verstehe noch nicht so genau wie es bei der anderen Aufagbe funktioniert. Danke schon einmal im vorraus :)
5 Antworten
Entweder mit quadratischer Ergänzung oder mit der pq-Formel.
Quadratische Ergänzung:
Ziel ist es hier die Gleichung in die Form einer binomischen Formel zu bringen um dann die Wurzel ziehen zu können.
0 = 3x² -12x +9 Vorfaktor von x² (hier 3) ausklammern
0 = 3(x² -4x) +9 Ergänzung der Klammer zu einer binomischen Formel
0 = 3(x² -4x +2² -2²) +9 überflüssigen Summanden ausklammern
0 = 3(x² -4x +2²) -3∙2² +9
0 = 3(x-2)² -3 | +3
3 = 3(x-2)² | :3
1 = (x-2)² | √() Achtung, der Inhalt der quadratischen Klammer könnte positiv oder negativ sein, deshalb kriegst du auch zwei Ergebnisse.
1 = ±(x-2)
1 = x1-2 und 1 = -x2+2
x1 = 3 und x2 = 1
Die pq-Formel wurde mit allgemeinen Koeffizienten und der quadratischen Ergänzung hergeleitet, wenn du also besser Formeln auswendig lernst:
0 = ax² + bx + c
x1,2 = (-b±√(b²-4ac))/(2a)
Guck was a, b und c sind (Vorzeichen!). Setz sie in die Formel ein und raus kommt das gleiche sie oben ;)
Ja von der Mitternachtsformel hatte ich bis jetzt noch nie was gehört :) Vielen Dank :)
Der Name ist mir auch das erste mal im Studium über den Weg gelaufen, die Formel selbst kannte ich aber schon vorher. Ich benutzte Formeln eher selten, da ich sie mir nicht so gut merken kann wie Rechenwege. Daher der kleine Verdreher ;)
Du hast gerade die a,b,c- oder Mitternachtsformel kennengelernt. In deutschen Landen ist aber weitgehend die p,q-Formel in Gebrauch. Und die darf man nicht verwechseln.
Voraussetzung ist eine normierte Gleichung: x² + px + q = 0
Vor dem x² darf nichts stehen.
Dann ist
x1,2 = -p/2 ± √((p/2)² - q)
In deinem Fall:
3x^2 - 12x + 9 = 0 | /3
x² - 4x + 3 = 0 | p,q-Formal anwenden
x1,2 = 2 ± √(4 - 3)
Die beiden Lösungen findest du jetzt sicher.
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im Voraus groß mit einem r, damit du in Deutsch keine Schwierigkeiten bekommst.
Danke, das wären dann ja x1 = 1 und x2= 3 :) Oh, das konnte ich mir nie merken wie man es schreibt, jetzt werd ich es mir merken können, danke ;)
Oh,habe falsche Formel in meinen Rechner eingegeben.
y=x^3 -6 *x^2 + 9 *x Nullstellen bei x1=0 und x2=3 diese Stelle ist gleichzeitig das Minimum .
abgeleitet y´=3*x^2 -12 *x + 9 Nullstellen bei x1=1 und x2=3
noch mal abgeleitet y´´=6 *x - 12 für x=1 y´´<0 also Maximum
x=3 ergibt y´´>0 also Minimum
Hi :)
Also, schauen wir uns erstmal deine Funktion an:
f(x)=x³ - 6x² + 9x
Diese Funktion ist eine sogenannte kubische Funktion. Wir haben hier eine ganzrationale Funktion, bei der der höchste Exponent 3 ist.
Nun nehmen wir einfach mal nur das Glied mit dem höchsten Exponenten:
x³
Nun, da jedes Glied dieser Funktion den Exponenten um 1 verringert, muss der Exponent folglich 2 sein. Und das ist dann der höchste Exponent im Term der Ableitungsfunktion!
Also leiten wir ab:
f'(x) = 3x² - 12x + 9.
Nun schauen wir uns den Ableitungsterm an!
Uns liegt hier eine quadratische Funktion vor, da der höchste Exponent im Funktionsterm die 2 ist. Hier haben wir die allgemeine Form, also die Form
f(x) = ax² +bx +c.
Wie du schon richtig gesagt hast, bilden die Nullstellen der Ableitungsfunktion die Extremstellen der Funktion f. Da wird auch klar, dass es hier höchstens zwei Extremstellen geben kann. Es kommt nämlich auf die Diskrimimante an, aber dazu später Genaueres.
Nun setzen wir unsere Funktion erstmal mit Null gleich:
f(x) = 0
3x² - 12x + 9 = 0
So, jetzt möchten wir die Gleichung so umformen, dass wir daraus leicht die Nullstellen ermitteln können. Hier könnte man die abc-Formel nehmen, aber schau dir die drei Terme mal genauer an. Was fällt auf? Sie sind alle durch 3 teilbar! Also teilen wir die Gleichung durch 3:
3x² - 12x + 9 = 0 | :3
x³ - 4x + 3 = 0
Und, was fällt dir jetzt auf? Wir haben durch unsere Division durch 3 bewirkt, dass der Term x² nun als Vorfaktor die 1 hat. Uns liegt hier eine quadratische Gleichung in Normalform vor:
x² + px + q = 0
Lesen wir erstmal p und q ab - ich schreibe dir beide Gleichungen noch einmal untereinander:
x² + px + q = 0
x² - 4x + 3 = 0
Also sieht man schnell:
p = -4
q = 3
Na, klingelt's? Wir wenden die pq-Formel zur Nullstellenberechnung an:
x1,2 = -p/2 ± √((p/2)² - q)
So, nun zur Diskriminante, die ich oben ansprach. Als Diskriminante bereichnet man bei der pq-formel oder bei der abc-Formel den Term, der unter der Wurzel steht. Unsere Diskriminante ist also:
D = (p/2)² -q
Nun kann die Diskriminante Auskunft über die Anzahl der Nullstellen geben:
a) Ist D < 0, so existieren keine rellen Lösungen. Das heißt, die Parabel hat keine reellen Nullstellen. Die imaginären Nullstellen - bei D = -1 sind die Nullstellen i und -i - ignorieren wir mal ganz dezent, da das an den meisten Schulen durch den Wegfall der elften Klasse nicht mehr gelehrt wird :(
b) Ist D = 0, so ist die einzige Lösung und somit die Nullstelle der dazugehörigen Parabel -p/2. Die Wurzel auf 0 ist ja bekanntlich Null. Dann hätte die Parabel an dieser Stelleden Berührpunkt mit der x-Achse. Diese Stelle wäre gleichzeitig die Extremstelle der Parabel. Nicht verwechseln mit dieser Aufgabe!
c) Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen.
Nun wissen wir, warum die kubische Funktion f(x) maximal zwei Extremstellen haben kann. Die quadratische Funktion kann als ihre Ableitungsfunktion nämlich maximal zwei Nullstellen haben. Da diese Nullstellen eben die Extremstellen der Funktion f(x) sind, kann es eben maximal zwei Extremstellen geben.
Setzen wir p und q mal in die pq-Formel ein:
x1,2 = -(-4/2) ± √((-4/2)² -3)
Nun schauen wir uns erstmal die Diskriminante hier an:
D = (-4/2)² -3 = (-2)² -3 = 4-3 = 1
So, da D > 0, gibt es zwei reelle Lösungen unserer Gleichung:
x1,2 = -(-4/2) ± √((-4/2)² -3)
= 2 ± √(1)
= 2 ±1
L = {1 ; 3}
Das ist erstmal die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung. Da der Zusammenhang zwischen quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen darin besteht, dass die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform die Nullstellen der dazugehörigen quadratischen Funktion sind, sind unsere Nullstellen für f'(x):
x1 = 1
x2 = 3
Nun, wie wir wissen, sind die Extremstellen der Funktion f(x) die Nullstellen der Ableitungsfunktion f'(x). Denn: Die erste Ableitung gibt Auskunft über die Steigung der Funktion. Da aber an Extremstellen die Steigung Null beträgt, müssen diese Stellen natürlich die Nullstellen der Ableitungsfunktion sein.
Das heißt, die Extremstellen sind erstmal
x = 1 und x = 3.
Ich vermute mal, dass bei x = 2 ein Wendepunkt vorliegt^^ - hab eben nachgeprüft, es ist so ;)
So, nun berechnen wir mal die zweite Ableitung, um zu schauen, welcher der Punkte ein Hochpunkt und welcher ein Tiefpunkt ist. Das ist nämlich unsere hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extrempunktes bzw. der Extremstelle (wir haben ja nur die Stellen berechnet). Diese besagt, dass f''(x), also die zweite Ableitung, größer oder kleiner Null sein muss:
f''(xe) > 0 => Tiefpunkt
f''(xe) < 0 => Hochpunkt
xe soll hier die Extremstelle sein.
Das heißt, wir leiten die erste Ableitung ab, um die zweite Ableitung zu erhalten:
f''(x) = 6x -12
Extremstellen einsetzen:
f''(1) = 6 -12 = -6 => Hochpunkt
f''(3) = 18 -12 = 6 => Tiefpunkt
Das war's - ich hoffe, ich konnte helfen :)
Bei Fragen melde dich!^^
LG ShD
Hey :) Vielen vielen Dank du hast mir wirklich sehr geholfen! :D
Aber ich habe noch ein paar Fragen, und zwar:
- Man nimmt um die Nullstellen auszurechenn entweder die notwendige Bedingung oder die pq-Formel? (Ist es so, dass wenn es nur eine Nullstelle gibt immer die notwendige Bedingung angewendet wird und wenn es mehrere gibt kann man nur mit der pq-Formel rechnen?)
-Kann ich als alternative zur hinreichenden Bedingung auch immer mit einer Tabelle herausfinden ob es ein HP oder TP ist?
-und um den geanauen Punkt des TP oder HP zu berechnen setzte ich die Nullstellen einfach in die einfach in die Ausgangsfunktion ein oder?
Danke :)
Freut mich! :)
Man nimmt um die Nullstellen auszurechenn entweder die notwendige Bedingung oder die pq-Formel?
Nein! Das Berechnen der Nullstellen ist das Erfüllen der notwendigen Bedingung. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung an den Extremstellen gleich 0 ist. Das setzen wir voraus, da wir f'(x) = 0 setzen und dann rechnet man eben die Extremstellen aus.
Ist es so, dass wenn es nur eine Nullstelle gibt immer die notwendige Bedingung angewendet wird und wenn es mehrere gibt kann man nur mit der pq-Formel rechnen?
Du hast das falsch verstanden, hab mich wohl doof ausgedrückt sorry :)
Die Anzahl der Nullstellen ist egal - die notwendige Bedingung ist aber erfüllt, wenn du die Extremstellen in f'(x) dann einsetzt und null rauskommt.
Wir sagen, deine Funktion sei f(x) = 1/3x³ und du willst prüfen, ob bei x = 0 ein Extremum vorliegt. Dann leiten wir f ab:
f'(x) = x²
Nun setzen wir für x eben 0 ein:
f(0) = 0² = 0
=> die notwendige Bedingung ist erfüllt! Aber: Das muss noch nichts heißen! Es kann auch ein Sattelpunkt sein! Dazu brauchen wir die zweite und die dritte Ableitung:
f''(x) = 2x
f'''(x) = 2
=> Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt: f'(xe) = 0 und f''(xe) = 0! Prüfen:
f''(0) = 2*0 = 0
f'''(0) = 2
=> Hier liegt ein Sattelpunkt vor, und zwar ein Rechts-Links-Sattelpunkt (da f'''(x) > 0)!
Kann ich als alternative zur hinreichenden Bedingung auch immer mit einer Tabelle herausfinden ob es ein HP oder TP ist?
Inwiefern "Tabelle"? Eine Wertetabelle zeigt dir nicht an, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Das musst du schon selbst prüfen. Aber du könntest dir anhand der Wertetabelle (wenn du denn die wichtigen und noch ein paar mehr Punkte berechnet hast) die Funktion skizzieren, dann kannst du eben sehen, ob du Hoch- Tief- oder Sattelpunkte hast.
Und um den geanauen Punkt des TP oder HP zu berechnen setzte ich die Nullstellen einfach in die einfach in die Ausgangsfunktion ein oder?
Ganz genau :)
Ich hoffe, dass ich deine Fragen verständlich beantworten konnte :)
ja super danke, du konntest sie alle beantworten :) Also es liegt immer ein Sattelpunkt vor wenn keine Null rauskommt wen ich die 0 in die zweite und dritte Ableitung einsetzte? :)
Falsch verstanden :)
Wenn die zweite Ableitung ebenfalls Null ist an der Stelle, dann kann kein Extremum mehr vorliegen, auch kein Wendepunkt! Denn für einen WP darf f'(x) nicht null sein, bei einem Sattelpunkt ist das aber der Fall ;)
Schau mal hier! :))
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/jahrgang112pdf/NotwendigeBedingungen.pdf
oh, sorry... aber jetzt habe ich es verstanden :)
Zuerst brauchst du eine vernünftige Matheausrüstung,wenn du es mit Funktionen zu tun hast.
1. Einen Graphikrechner ,wie ich einen habe.
2.Ein Mathe-Formelbuch,was man in jeden Buchladen bekommt,z.Bsp.den "Kuchling"
Die Funktion,habe ich durch meinen Graphikrechner (CASIO) gejagt.
Nullstellen bei x1=- 1,732 ,x2=0 und x3=1,732
Maximum bei x(max)=- 1 y=2
Minimum bei x(min)=1 y= - 2
Aus den Mathe-Formelbuch
Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null
Volens hat recht. Ich habe zwar "pq-Formel" geschieben, aber die Mitternachtsformel aufgeschrieben und benutzt. Ich denke du siehst den Unterschied:
pq-Formel
0 = x² + px + q
x1,2 = -p/2 ±√(p²/4 - q)
Mitternachtsformel
0 = ax² + bx + c
x1,2 = (-b±√(b²-4ac))/(2a)