Ableitung rückwärts?

wenn ich f'''(x)=6 (3.ableitung) habe, ist dann die die 2. ableitung f''(x)= 6x und die 1. ableitung dann f'(x)= 3x^2?

Answer 1

[Bartosz11]

Ableitung rückwärts nennt man auch integrieren oder das Integral.

Das C ist eine Konstante. Sie gehört immer dazugeschrieben, denn sie kann auch ungleich 0 sein.

Integrale lernst du normalerweise nicht kennen, indem man Ableitungen wieder zu "ursrpünglichen" Funktion macht, sondern wenn man die Fläche unter eine Kurve haben möchte.

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Hier 3 Beispiele:

Das Integral von der Funktion f(x) = 6 von x=0 bis x=4 beträgt 24 Flächeneinheiten. Ich denke, wir sind uns einig, dass man auch mit der Rechteckformel A = a*b auf's selbe Ergebnis kommt.

Das Integral von f(x)=2*x ist x². In den grenzen von x=0 bis x=3 sind hier 9 Flächeneinheiten. Auch hier denke ich, sind wir uns einig, dass du mit der Dreicksformel A = 1/2 *g*h auf's selbe Ergebnis kommst.

Aber jetzt kommt der Twist!

In der Physik ist es zum Beispiel so, dass die Geschwindigkeitsfunktion das Integral der Beschleunigungsfunktion ist. Ich rede hier also nicht mehr von v = a*t, sondern von sich ändernden Geschichten, ok? Deshalb musst du integrieren. Das macht auch Sinn, denn wenn die Beschleunigung abnimmt, wie im folgenden Bild, dann bleibt die Geschwindigkeit irgendwann gleich! (logisch oder logisch?)

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$ oder hier vereinfacht nur als "normale" Funktion runtergebrochen

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)\ dx\ =\int9.81\cdot e^{-x}\ dx$ +C!!

Warum? Wenn du das Ergebnis, auch Stammfunktion genannt, einfach so plottest, ist sie falsch. Denn ich will, dass der Körper aus der Ruhe beschleunigt wird, also ohne Vorgeschwindigkeit. Daher soll die Kurve der Geschwindigkeit bei (0/0) anfangen. Es muss demnach eine Konstante geben, die mir die Kurve hoch-/runterschiebt. So wird das C bestimmt. "+C" zu schreiben ist nicht falsch, denn wenn du nun wieder ableitest, fällt das C weg.

Ich hoffe, ich konnte dir das Thema ein wenig näherbringen. 😇😊

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[nobytree2]

Das ist aber nur eine Teilmenge davon!

$\int\left(\int f'''\left(x\right)dx\right)dx=\int\left(f''\left(x\right)+c_1\right)dx=f'\left(x\right)+xc_1+c_2$ $c_{1,2}\in\text{}$ für Deinen Fall

$\int\left(\ \int6dx\right)dx=\int\left(6x+c_1\right)dx=3x^2+c_1x+c_2$

Dass Du diese c mitnimmst, ist wichtig, sonst gehen manche Differenzialgleichungen nicht auf.

Answer 3

[DerEinsiedler]

Korrekt. Das sind mögliche Stammfunktionen.

Diese Richtung ist nicht eindeutig.

Beispielsweise könnte f" auch f"(x) = 6x + 7 sein

Answer 4

[kmkcl]

Fast. Bei jedem "Aufleiten", also integrieren, kann ein konstantes Glied dazu kommen.

Wenn f'''(x) = 6 ist, kann f''(x) = 6x +3 sein... weiter gesponnen dann f'(x) = 3x^2 +3x +2

und f(x) = x^3 + 3/2 x^2 +2x +1
Die Richtung ist nicht eindeutig bestimmt und das konstante Glied wird gerne mal vergessen. Es wird erst eindeutig, wenn weitere Dinge zu der Funktion bekannt sind, etwa Startwerte, Steigungen an bestimmten Punkten...