Wie berechnet man ein Dreieck aus 3 Funktionen?
"Geg: ein Dreieck ABC. Durch jeden Eckpunkt geht eine Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die gegenüberliegende Dreiecksseite."
Ich habe mir dafür folgende 3 Funktionen erstellt(für die geraden): a(x)=1x+1 b(x)=-1x+1 c(x)=0x+0,2
Da wir derartiges meines Erachtens noch nie im Unterricht behandelten, kann ich folgende Aufgaben nicht lösen:
a)Bestimmte die Länge der Dreiecksseiten b)Bestimmte die Winkel des Dreiecks (ohne Rechnungen würde ich immer 45° behaupten) c)Berechne Flächeninhalt des Dreiecks
Hoffe ihr könnt mir weiter verhelfen!!
Danke !
3 Antworten
Ganz allgemein solltest du, wenn du bei Geometrie-Aufgaben nicht weiter kommst, eine Zeichnung machen. Das hilft eigentlich immer die Gedanken zu sortieren. Hier heißt das, du zeichnest dir ein Koordinatensystem und trägst die drei Funktionsgraphen ein.
a) Zunächst brauchst du die Eckpunkte des Dreieck, also die Schnittpunkte der Graphen. Dazu setzt du je zwei Funktionen gleich, löst das Ganze nach x auf und berechnest anschließend y, indem du den x-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt.
Die Seitenlängen des Dreieck sind die Abstände zwischen den Eckpunkten. Den Abstand zweier Punkte P₁(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) im Koordinatensystem berechnet man über den Satz des Pythagoras:
P₁P₂ = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
b) Den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Steigungen m₁ und m₂ berechnet man allgemein mit:
tan α = |(m₁ - m₂) / (1+m₁∙m₂)| wobei für m₁∙m₂ = -1 gilt α = 90°
Du kannst es dir hier allerdings einfacher machen, da c(x) parallel zur x-Achse verläuft und für den Winkel zwischen einer Geraden mit der Steigung m und der x-Achse tan β = m gilt. Außerdem ist die Summe aller Innenwinkel eines Dreieck immer 180°.
c) Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt: A = 1/2∙g∙h
Die Grundseite g ist ja einfach eine Dreiecksseite, die du in a) schon berechnet hast. Die Höhe h müsstest du bei anderen Beispielen berechnen, da du hier aber ein rechtwinkliges Dreieck hast, kannst du für g und h einfach die Seiten a und b wählen, also die Seiten, die den rechten Winkel einschließen.
Deine Aufgabe hast du leider nicht vollständig dargelegt. Ich habe versucht, eine solche Aufgabe im Internet zu finden und bin dabei auf die folgende gestoßen, die ich anschließend lösen werde:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten
A(-2,6/0,4), B(1/-2,7), C(0,6/-0,4).
Durch jeden Eckpunkt geht eine Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die gegenüberliegende Dreiecksseite. Gib für jede dieser Geraden eine Gleichung an.
In welchen Punkten schneiden sich die Geraden?
Man bestimmt zunächst die Steigungen der Seiten des Dreiecks ABC.
m_{a} = (yC-yB) / (xC-xB) = (-0,4+2.7) / (0,6-1) = 2,3 / (-0,4) = - 23 / 4
m_{b} = (yC-yA) / (xC-xA) = (-0,4-0,4) / (0,6+2,6) = -0,8 / 3,2 = - 1 / 4
m_{c} = (yB-yA) / (xB-xA) = (-2,7-0,4) / (1+2,6) = -3,1 / 3,6 = - 31 / 36
Wir bestimmen nun die gesuchten Geraden.
Gerade durch A mit Steigung von a:
g_{A}: y = m_{a} * x + c_{a}
g_{A}: y = - 23 / 4 * x + c_{a} ... Setze ( x | y ) = ( -2,6 | 0,4 )
0,4 = - 23 / 4 * (-2,6) + c_{a}
2 / 5 = - 23 / 4 * ( - 13 / 5 ) + c_{a}
2 / 5 = 299 / 20 + c_{a}
c_{a} = - 291 / 20
g_{a}: y = - 23 / 4 * x - 291 / 20
Gerade durch B mit Steigung von b:
g_{B}: y = m_{b} * x + c_{b}
g_{B}: y = - 1 / 4 * x + c_{b} ... Setze ( x | y ) = ( 1 | -2,7 )
-2,7 = - 1 / 4 * (1) + c_{b}
- 27 / 10 = - 1 / 4 + c_{b}
c_{b} = - 49 / 20
g_{b}: y = - 1 / 4 * x - 49 / 20
Gerade durch C mit Steigung von c:
g_{C}: y = m_{c} * x + c_{c}
g_{C}: y = - 31 / 36 * x + c_{c} ... Setze ( x | y ) = ( 0,6 | -0,4 )
-0,4 = - 31 / 36 * 0,6 + c_{c}
- 2 / 5 = - 31 / 36 * 3 / 5 + c_{c}
- 2 / 5 = - 31 / 60 + c_{c}
c_{c} = 7 / 60
g_{c}: y = - 31 / 36 * x + 7 / 60
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Auf dem Bild siehst du eine Grafik zu der Aufgabe. Die Eckpunkte des neuen Dreiecks kannst du dort zum Vergleich ablesen - die Berechnung der Eckpunkte des neuen Dreiecks sowie der Fläche und des Winkels erspare ich mir an dieser Stelle.
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Viel einfacher kann man die Aufgabe lösen, wenn man mithilfe der Analytischen Geometrie an die Sache herangehen darf. Da ich deinen Kenntnisstand nicht kenne, kann ich nicht einfach davon ausgehen, dass du mit Vektoren rechnen kannst.
Die Geraden a, b und c haben die Schnittpunkte A₀(- 0,8 | 0,2), B₀(0,8 | 0,2),C₀(0|1).
Eins der Dreiecke, die Deine Bedingung erfüllen, hat als Ecken die Mittelpunkte der Seiten von ∆A₀B₀C₀, nämlich A(- 0,4 | 0,6) auf a, B(0,4 | 0,6) auf b und C(0|0,2) auf c.
Die Seitenlängen sind AB = 0,8 und (AC)² = (BC)² = 0,4² + 0,4²
Die Winkel sind α = ß = 45° und ɣ = 90°und Fläche ist F = ½AB ∙ h = ½ ∙ 0,8 ∙ 0,4.
Vielen Dank!!! Nur, könntest du vielleicht auch mir ein wenig deine Rechnungen zeigen, wie du die Mittelpunkte, Seitenlänge und Winkel ermittelt hast?
Am besten zeichnest Du es mal in ein Koo.system mit möglichst großem Maßstab (mindestens 2 Kästchen für die Einheit), dann siehst Du alles.
Bin nebenbei bei Geogebra drinne, nur muss ich ja auch es berechnen können, wenn der Platz für gigantische Zahlen nicht reichen würde. ^^
Ansonsten ermittel ich derzeit die exakten Werte wie du, also vielen Dank!! :)
Ich setze an dieser Stelle mein Beispiel fort. Die Eckpunkte des äußeren Dreiecks berechnet man, indem man die linearen Funktionen paarweise gleichstellt.
g_{A} = g_{B}
- 23 / 4 * x - 291 / 20 = - 1 / 4 * x - 49 / 20
- 23 / 4 * x + 1 / 4 * x = - 49 / 20 + 291 / 20
- 11 / 2 * x = 121 / 10
x = - 11 / 5
g_{A} (11/5) = - 23 / 4 * ( -11 / 5) - 291 / 20 = - 19 / 10
S1( - 11 / 5 | - 19 / 10 )
g_{A} = g_{C}
- 23 / 4 * x - 291 / 20 = - 31 / 36 * x + 7 / 60
- 23 / 4 * x + 31 / 36 * x = 7 / 60 + 291 / 20
- 44 / 9 x = 44 / 3
x = - 3
g_{A} (-3) = - 23 / 4 * (- 3) - 291 / 20 = 27 / 10
S2( -3 | 27 / 10 )
g_{B} = g_{C}
- 1 / 4 * x - 49 / 20 = - 31 / 36 * x + 7 / 60
- 1 / 4 * x + 31 / 36 * x = 7 / 60 + 49 / 20
11 / 18 * x = 77 / 30
x = 21 / 5
g_{B} ( 21 / 5 ) = - 1 / 4 * 21 / 5 - 49 / 20 = - 7 / 2
S3( 21 / 5 | - 7 / 2 )
Oder für Liebhaber von Dezimalzahlen:
S1( -2,2 | -1,9 ) , S2( -3 | 2,7 ) , S3( 4,2 | -3,5 )
Kommen wir nun zur Berechnung der Seitenlängen. Die Formel für den Abstand zweier Punkte lautet:
d(P,Q) = Wurzel( ( yQ - yP )² + ( xQ - xP )² ) .... Satz des Pythagoras
Dann ergeben sich die Seitenlänge folgendermaßen:
d(S1,S2) = Wurzel( ( 2,7 - (-1,9) )² + ( -3 - (-2,2) )² ) = 4,669
d(S1,S3) = Wurzel( ( -3,5 - (-1,9) )² + ( 4,2 - (-2,2) )² ) = 6,597
d(S2,S3) = Wurzel( ( -3,5 - 2,7 )² + ( 4,2 - (-3) )² ) = 9,502
Das äußere Dreieck S1S2S3 hat die Seitenlängen 4,669 LE, 6,597 LE und 9,502 LE.