Rechtwinkliges dreieck, nur hypotenuse gegeben, lösbar?
Hallo, ich habe folgende aufgabenstellung, und weiß nicht, was ich tun soll:
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Gamma = 90 grad) ist die länge der Hypotenuse mit c = 10cm gegeben. Unter allen Dreiecken mit diesen Angaben gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Ermitteln Sie für dieses Dreieck die Länge der Katheten und den Flächeninhalt!
Mfg Benny
4 Antworten
Weil der Flächeninhalt maximal werden soll, muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein.
Daher gilt a=b und c=10.
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, verwenden wir Pythagoras:
a²+b²=c²
a²+a²=10²
2*a²=100
a²=50
a=√(50)
Danke, jetzt hab ich es verstanden. Hat sich alles für mich geklärt.
Genau genommen müsstest du noch zeigen, dass der Flächeninhalt maximal wird, wenn es gleichschenklig ist.
wenn es gleichschenklig sein sollte, soll er/sie das sicher durch Rechnung zeigen und nicht voraussetzen.
c ist fest und gegenüberliegend 90° sind fest. also ist der Flächeninhalt nur von a und b abhängig. Wenn man a einsetzt, erhält man b und somit kann man das Volumen berechnen. Für rechtwinklige Dreiecke muss man nur a*b*½ rechnen für den Flächeninhalt. Setzten wir etwas für a ein, dann erhalten wir wegen a²+b²=c² umgestellt b²=c²-a² und b=√(c²-a²) und das setzen wir ein für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a. --> F(a)=a*√(c²-a²)*½ und das können wir ableiten. und dann erhalten wir b und somit gilt a=b
Extremwertaufgabe
Nebenbedingung:
a²+b²=100 → a = wurzel(-b² + 100)
Hauptbed.
A(max) = 1/2 • a • b
einsetzen
A(max) = 1/2 • wurzel(-b²+100) • b
A ' mit Produkt- und Kettenregel
A ' = 0
usw
Es gibt zwei Lösungsansätze, denn wir haben bereits drei Größen des Dreiecks gegeben und können es deshalb auch bilden:
- Hypothenuse
- Gamma
- Höhe für den größten Flächeninhalt! Denn der Flächeninhalt berechnet sich mit c und …? – !
Na, dann finden wir 3. eben raus …
- Zeichnerisch, in dem wir alle Dreiecke mit Gamma = 90 Grad und c = 10 cm betrachten und jenes mit der größten Höhe wählen. Stichwort: Satz des Thales
- Rechnerisch, in dem wir die Formel für den Flächeninhalt als Funktion auffassen und das Maximum ermitteln. Stichwort: Ableitung
Tipp:
Pythagoras: a² + b² = c²
Wenn c² = 100, kannst du eine Seite aus der anderen herleiten.
Finde die Seitenkombination, bei der a mal b maximal wird.
Eine Seite ist etwas länger als 7,07 cm