Frage von loewenzahnbluem, 38

Wer kann mir bei dieser Geometrie-Aufgabe helfen?

Zeigen Sie: Die Summe der Abstände jedes Punktes eines spitzwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks ist kleiner gleich der längsten Höhe. Beschränken Sie sich auf den Fall, dass die Basiswinkel des Dreiecks α und β kleiner als 60° sind. (Hinweis: Dann ist c > a und hc < ha, warum?) Unterscheiden Sie wieder die Fälle: i. Der Punkt P ist ein Eckpunkt. ii. Der Punkt P liegt auf einer Dreiecksseite. iii. Der Punkt P liegt im Innern des Dreiecks.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Vermutlich sind die Abstände jedes Punktes von den drei Dreiecksseiten gemeint.

i. ist trivial - die Abstände zu 2 Seiten sind 0 und der 3. Abstand ist die entsprechende Höhe.

ii. kann man mit den Strahlensätzen machen - wenn P auf A liegt, zeichne die Lote von P auf b und c sowie die Höhen auf b und c ein.

P zerlegt die Seite a in zwei Abschnitte.

Nimm B und C als Zentrum für die Anwendung der Strahlensätze und suche parallele Linien.

iii. Zeichne die Parallele zu Seite c durch P. (Nennen wir sie c'.) Du erhältst ein kleineres Dreieck, auf das du das Ergebnis von ii. anwenden kannst. (Mit den Höhen ha', hb', hc')

Der Punkt, bei dem du brauchst, dass die Winkel kleiner sind als 60° (oder höchstens gleich 60°) kommt dort hinein, wo du nachweisen musst, dass der Abstand von c und c' (= Abstand von P und c) größer oder gleich ha - ha' sowie hb - hb' ist.

(Es fehlt allerdings noch der Fall, dass das Dreieck zwei Winkel größergleich 60° hat)

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Einfacher und schneller geht es auf anderem Weg - nämlich über die Fläche:

Zeichne von P aus die Lote auf die 3 Seiten. Zeichne die Strecken, die P mit den Eckpunkten verbinden. Dies zerlegt das Dreieck in 6 rechtwinklige Dreiecke. Die Summe ihrer Flächen muss die Fläche des ursprünglichen Dreiecks sein. Geeignete Zusammenfassung ergibt:

F = 1/2 a da + 1/2 b db + 1/2 c dc   (da, db, dc sind die Abstände von P zu a, b, c)

Ersetze hierin a, b, c durch die kleinste/größte Seite (welche von beiden verrate ich nicht, ist aber leicht drauf zu kommen); damit erhältst du zwei Ungleichungen für F. 

Drücke die kleinste/größte Seite durch den Flächeninhalt und die zugehörige Höhe aus. Stelle die Ungleichung um nach der Höhe.

(Damit erhältst du übrigens fast ohne Mehraufwand auch, dass die Summe der Abstände jedes Punktes des Dreiecks von den Dreiecksseiten größer oder gleich der kürzesten Höhe ist)

Antwort
von HeinzEckhard, 14

Die Frage ist mir unklar. Wenn α und β kleiner als 60° sind, dann muss der verbleibende Winkel γ > 60° sein. Dann ist aber das Dreieck stumpfwinklig, und nicht spitzwinklig. C ist größer als a, das ist logisch. Aber hc ist ebenfalls größer als ha, sofern die Höhe, und nicht die Seiten- oder Winkelhalbierende gemeint ist. Und was ist schließlich mit der Summe der Abstände jedes Punktes... gemeint???

Kommentar von loewenzahnbluem ,

doch die höhe ha ist größer als hc

mit der Summe der Punkte ist gemeint, man markiert verschiedene Punkte im Innern und misst jeweils im rechten Winkel den Abstand von den drei Dreiecksseiten...

Kommentar von HeinzEckhard ,

Sorry, stimmt. Ab 60° abwärts wird hc kleiner als ha. Ich habe die Höhe mit der Mittelsenkrechten vertauscht. Wer lesen tut, ist klar im Vorteil :-)

Kommentar von PWolff ,

(stumpfwinklig / spitzwinklig vergleicht die Winkel mit einem rechten Winkel, also 90°)

Kommentar von HeinzEckhard ,

Sofern die Basiswinkel α und β kleiner als 45° werden, was die Aufgabenstellung ja zuläßt, wird das Dreieck stumpfwinklig.

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