zwei Tangenten an Kreis, Abstände gleich - Beweis?
Hallo zusammen, folgenden Satz muss ich beweisen. "Legt man zwei Tangenten an einen Kreis von einem außerhalb gelegenen Punkt, so sind die Abstände dieses Punktes zu den zwei Berührungspunkten gleichlang" Kann mir da jemand helfen? Zeichnerisch hab ich kein Problem mir das vorzustellen..
4 Antworten
- Tangenten bilden mit dem jeweiligen Kreisradius durch den Berührpunkt einen rechten Winkel.
- Mittelpunkt des Kreises, Berührpunkt einer Tangente und der "außerhalb gelegene" Punkt bilden also immer ein rechtwinkliges Dreieck, mit dem rechten Winkel im Berührpunkt.
- Die beiden von den beiden Tangenten gemäß Schritt 2 gebildeten Dreiecke haben eine Seite gemeinsam, nämlich die Strecke vom Mittelpunkt zum "außerhalb gelegenen" Punkt.
- Alle Radien eines Kreises sind gleich lang.
- Gemäß Schritt 3 und 4 stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten überein, nach Schritt 1 außerdem im der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel. Demnach sind beide Dreiecke nach Kongruenzsatz SsW kongruent und stimmen somit auch in der dritten Seite überein - diese dritte Seite ist aber der gesuchte Abstand
q.e.d.
Da kannst du ein rechtwinklicges Dreieck reinlegen. Der Kreis hat einen konstanten Radius und der Mittelpunkt des Kreises hat auch einen bestimmten Abstand zu deinem außerhalb gelegenen Punkt. Da diese beiden (gegen- und ankathete) gleich lang sind, müssen zwangsläufig auch die Hypotenusen (also die Strecken von deinem Punkt außerhalb zum kreisrand) gleich lang sein
Wo willst da ein rechtwinkliges Dreieck hinein konstruieren mit Gegen- und Ankathete gleich lang?
Oder der Drachen, der von dem gegebenen Punkt, dem Kreismittelpunkt und den Berührpunkten der Tangenten gebildet wird. Besteht ebenfalls aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken.
Naja, Punkt außerhalb - Mittelpunkt = ankathete, Radius = gegenkathete, punkt außerhalb - kreisrand = Hypotenuse
Hab’s nicht aufgemalt, aber das müsste so stimmen
Die Grundsatzüberlegung ist richtig.
Aber die Hypotenuse deiner Dreiecke sind nicht "die Strecken von deinem Punkt außerhalb zum kreisrand", sondern die Strecke vom Kreis-Mittelpunkt zum "außerhalb gelegenen Punkt" - die rechten Winkel werden von den Radien mit den Tangenten gebildet.
Das müssten doch die ankatheten sein? Ich meine, dass die Hypotenusen die „schrägen“ sein müssten
Für mich liegt der außerhalb gelegene Punkt auf Höhe des Mittelpunktes.
Aber natürlich kann man das auch umdrehen, sind ja kongruente Dreiecke...
Hier der Alternative Lösungsweg. Der Radius des Kreises um p muss allerdings auch gemessen werden, um die genaue tangentenlänge zu bestimmen
Hier meine Skizze. Sofern man meine zeichenkünste nicht beachtet, so kann man das mit beliebigen Punkten P und Radien r wiederholen.
ach super, danke dir!
Kannst du mir denn auch noch dabei helfen, wie ich jetzt einen genauen Beweis davon aufstelle? eine Zeichnung reicht da ja meistens nicht..
Ich hätte den Satz des pythagoras angewendet. Du musst allerdings gegen- & ankathete abmessen.
Ist das nicht erlaubt, dann zeichne einfach einen Kreis mit einem beliebigen Radius um deinen Punkt P außerhalb des Kreises. Die Schnittpunkte mit dem vorgegebenen Kreis sind dann auch gleich weit entfernt (kreisradius ist ja konstant!)
Dann kannst du auch zwei Tangenten an die Schnittpunkte der beiden Kreise legen und du hast ohne messen bewiesen ;)