Alle gemeinsamen Tangenten von zwei Kreisen finden?
Guten Abend, könnte mir jemand bitte bei dieser Matheaufgabe helfen? Gegeben ist folgendes:
Das heißt, wir haben die Gleichungen der zwei Kreise (und ihre Mitten natürlich), eine gemeinsame Tangente sowie die Berührungspunkte zwischen der Tangente und jedem der Kreise (siehe Bild oben). Ich muss nun die restlichen drei gemeinsamen Tangenten der zwei Kreise finden und dies mathematisch und nicht geometrisch.
Könnte mir jemand bitte weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!
3 Antworten
Sagt dir der Ausdruck "Hessesche Normalform" etwas ?
Die gesuchten Tangenten sind nämlich genau jene 4 Geraden in der Ebene, welche vom Mittelpunkt S den Abstand r_1 und vom Mittelpunkt C den Abstand r_2 haben. Die Radien r_1 und r_2 sind dir bekannt (die Kreisgleichungen hast du leider im Bild teilweise abgeschnitten).
Aus den Abstandsbedingungen (nach Hesse-Abstands-Formel) erhältst du dann ein System von 2 quadratischen Gleichungen für die Parameter der Tangentengleichungen.
Die Gleichung der Geraden kann man beispielsweise in der Form
b*x + a*y = a*b oder b*x + a*y - a*b = 0
schreiben. Der zugehörige Normalenvektor (b|a) hat den Betrag |n| = √(a^2+b^2).
Ein beliebiger Punkt P(u|v) hat dann (gemäß Hesse-Formel) von g den Abstand
d(P.g) = |b*u+a*v-a*b| / |n| = |b*u+a*v-a*b| / √(a^2+b^2)
Nun kann man (z.B. für den Abstand von C) in diese Gleichung die Werte u=-2 , v=1 und d=√(10) einsetzen und erhält so eine erste Gleichung.
Die zweite (welche den Abstand von S betrifft) ergibt sich mit den Zahlenwerten u=8 , v=11 und d=√(90).
Das entstehende Gleichungssystem ist zugegebenermaßen etwas umständlich, mit etwas Geschick kann man aber sofort durch Differenzbildung eine lineare Gleichung erhalten, die man dann zusammen mit einer der quad. Gl. weiter auflöst.
Trotzdem gäbe es auch geometrische Ideen, welche einem die Rechnerei etwas erleichtern würden.
Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt verstehe ich schon viel besser. Entschuldige noch für die Frage, aber die Gleichung einer beliebigen Gerade ist ja dies z.B.: b*x+a*y=c. Könntest du mir bitte kurz erklären, woher du weißt, dass c hier a*b ist? Vielen Dank im Voraus.
Ich habe angenommen, dass a und b gerade die Achsenabschnitte der Geraden sein sollen. Das erleichtert nachher die Identifikation der Geraden. Eigentlich ging ich von der "Achsenabschnittsgleichung"
x/a + y/b = 1
aus. Um Brüche einzusparen, habe ich sie dann mit a*b erweitert. Wenn du von der Gleichung a*x + b*y = c ausgehen willst, kannst du das. Du hast dann aber eine überflüssige Unbekannte in deinem Gleichungssystem.
(ich setze mal voraus, dass keine der 4 gesuchten Tangenten durch den Koordinatenursprung O(0|0) gehen soll)
Die Punkte R2 und T2 der äußeren Tangente (t gespiegelt an SC) haben die Koordinaten:
R2 = (-1│-2) ; T2 = (11│2)
1) Funktionsgleichung SC aufstellen
2) Schnittpunkt der beiden Geraden ermitteln SP = (-7│-4)
3) Steigung der zu SC gespiegelten Tangente bestimmen m_t2 = 1/3
4) Funktionsgleichung für t2 erstellen y_t2 = (1/3) * x - (5/3)
5) Schnitt Kreis_1 mit t2 und Kreis_2 mit t2
Daran habe ich auch gedacht. Das wäre dann aber eben ein eher geometrisch geprägter Weg, entgegen der Forderung, dass die Aufgabe rechnerisch gelöst werden solle. ("mathematisch" wäre zwar auch ein geometrischer Lösungsweg allemal ...)
Ich war mir nicht sicher, was mit "nicht geometrisch" gemeint war. Sollten nur zeichnerische Lösungen ausgeschlossen werden oder auch trigonometrische Lösungen? Grundsätzlich sind verschiedene Herangehensweisen möglich, z.B. auch mittels standardisierter Koordinatenberechnungsverfahren wie Orthogonalpunktberechnung, Lotfußpunktberechnung etc., die aber trigonometrisch begründet sind. Damit der Rechenweg leicht nachvollziehbar ist, habe ich eine "zu Fuß" Lösung gesucht, die weitgehend über Funktionen und diverse Schnittpunktberechnungen realisiert ist (letztlich steckt auch da der Tangens drin). Aber ich sehe, viele Wege führen nach Rom.
"viele Wege führen nach Rom"
... und glücklicherweise nicht nur nach Rom ! (mich zieht es schon längere Zeit nicht mehr dorthin)
Vielen Dank für Antwort. Bei der Abstands-Formel rechnet man doch die Distanz zwischen einem Punkt und einer Gerade aus, nicht? Dann wäre es ja r_1 bzw. r_2 = … was? Ich verstehe leider nicht, wie man dann diese “2 quadratischen Gleichungen” bekommt, wenn man keine Gerade hat… Könntest du es mir bitte etwas erklären? Hier sind die Kreisgleichungen, falls sie helfen können: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 10 & (x-8)^2 + (y-11)^2 = 90.