Gemeinsame Tangente von zwei Schaubildern? (Differenzialrechnungen)?
Ich sitze schon den ganzen Tag an einer Aufgabe.. sie lautet wie folgt:
Zeigen sie: Die Schaubilder von f und g haben eine gemeinsame Tangente.
f(x)= e^2x ; g(x)= 2e^x - 1
4 Antworten
Den ganzen Tag? Und was hast du so lange gemacht?
Grün ist e^2x
Blau ist 2e^x - 1
Schwarz ist die Tangente.
Zwei Funktionen haben dann eine gemeinsame Tangente, wenn sie bei mind. einem X-Wert den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.
Das müsstest du zeigen. Siehst du, welches de gemeinsame x-Wert ist?
PS: Es gibt auch weitere Möglichkeiten, bei denen zwei Fkt. eine gemeinsame Tangente haben. Meine obige Charakterisierung passt für diese Aufgabe.
Immer hilfreich: Skizze machen, GTR oder GeoGebra zur Veranschaulichung nutzen
Die Tangente ist natürlich auch noch Tangente an andere Funktionen in anderen Punkten:
f‘(x) = g‘(x)
2e^2x = 2e^x-1
e^2x = e^x-1
2x = x-1
x = -1
Dort ist die Steigung gleich, eine gemeinsame Tangente ist es jedoch nicht, die Funktionen haben bei x = -1 unterschiedliche Funktionswerte, die Tangenten somit andere y-Achsenabschnitte.
Ach, das -1 ist gar nicht im Exponenten, na super…
Ich dachte die -1 steht im Exponenten! Daher habe ich mich auch gewundert, da es so wie ich es gerechnet habe keine gemeinsame Tangente gibt, nur eine gemeinsame Steigung bei x = -1
Ist ja auch oft missverständlich, weil man hier nur schwer Formeln schreiben kann!
Ansatz
f(x) = g(x)
und (!)
f'(x) = g'(x)
nach was wird bei f(x) = g(x) aufgelöst? und nach was bei f‘(x) = g‘(x)?
Ich sehe die Aufgabe nicht. Aber wenn da steht "Zeigen Sie" könntest du den Berührpunkt ablesen und den Wert in die beiden Bedingungen einsetzen?
Ich könnte theoretisch zeichnen, mein Lehrer sagt aber immer, wir müssen solche Aufgaben rechnerisch lösen.
f(x)= e^2x = g(x)= 2e^x - 1
f'(x) = 2e^2x = 2 e^x -> 2 e^x = 2 -> e^x = 1 -> x = 0 prüfen in erster Bedingung
f(0) = 2e^0 = 2 g(0) = 2e^0 - 1 = 1
Das passt nicht! Wie ist die Funktionsgleichung von g(x)?
Das bedeutet, dass sich die Ableitung von f und g sich in einem Punkt schneiden. Also ableiten und gleichsetzen und auf x auflösen, um die Stelle zu erhalten, an denen sich die beiden Funktionen eine Tangente teilen
f‘(x) = g‘(x)
2e^2x = 2e^x-1
e^2x = e^x-1
e^2x = e^x-1/2 müsste es heißen.