Die totale Finsternis, die ich am 11.Juli 1991 in Mexiko miterleben durfte, war wirklich ein sehr ergreifendes Erlebnis. Allen, die etwas über die Wirkung einer solchen Finsternis auf uns Menschen lesen möchten, kann man immer noch den eindrücklichen Text von Adalbert Stifter über die Sonnenfinsternis, die er am 8. Juli 1842 in Wien beobachtet hatte, empfehlen.

https://www.projekt-gutenberg.org/stifter/sonnenfi/sonnenfi.html

Dass der Mond von der Erde aus gesehen in unserer Epoche gerade etwa gleich groß wie die Sonne erscheint (und zwar so, dass es infolge der elliptischen Umlaufbahnen nebst totalen auch ringförmige Sonnenfinsternisse geben kann), ist eine außerordentliche Koinzidenz, für SoFi-Fans so etwas wie ein "himmlisches Geschenk".

Zu keiner Zeit (und in keinem Monat) steht irgendein Sternbild immer im Zenit. Eine etwas präzisere Frage wäre etwa:

Welches Sternbild steht im m-ten Monat des Jahres (m = 1,2,3,4,..... 12) jeweils um Mitternacht so ziemlich genau im Zenit ?

Natürlich müsste man da von der geographischen Breite eines Beobachtungsortes ausgehen.

Und: die "Sternbilder", die durch den Zenit laufen, werden kaum die Sternbilder des "Tierkreises" sein.

Die Lösungen für eine entsprechende Tabelle würde ich mir mittels eines Hilfsprogramms wie z.B. Stellarium oder aber mittels einer drehbaren Sternkarte erarbeiten.

Naja, eine schon eher seltsame Aufgabenstellung nach dem Motto: "Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht ?"

Natürlich ist das Ergebnis, nämlich A = a*b , schon klar, bevor wir zu den Polarkoordinaten übergehen.

Legen wir das Rechteck so in ein (kartesisches) Koordinatensystem, dass seine Eckpunkte in O(0|0), P(a|0), Q(a|b) und R(0|b) liegen. Für das Integrieren in Polarkoordinaten mit dem Ursprung O kann man das Rechteck in die beiden Dreiecke OPQ und OQR aufteilen. Das Integral für das erste dieser Dreiecke wäre dann:

\int \limits_{0}^α \frac{r^2\}{2}\ dφ 

wobei r(phi) = a / cos(phi)

und alpha = arctan(b/a)

Das Teilergebnis sollte natürlich a*b/2 sein. Dann ein zweites Teilintegral für das obere Dreieck (natürlich nochmals mit demselben Teilergebnis).

Summa summarum dann A = (a*b)/2 + (a*b)/2 = a*b

(Sorry, habe extreme Mühe mit dem hiesigen "Editor")

Vektorgeometrie für die euklidische Raumgeometrie im 2D- und 3D-Raum ist relativ überschaubar. Nimmt man dann auch Raumkurven und Flächen im 3D-Raum dazu (mittels Differential- und Integralrechnung), gibt es natürlich wesentlich komplexere Fragestellungen und Lösungsstrategien. In der modernen Physik (Stichworte Relativitätstheorie und Quantentheorie, Stringtheorien) werden Konzepte aus der "anschaulichen" Geometrie auf Räume mit höheren Dimensionen erweitert.

Vektorräume spielen aber auch in der numerischen Mathematik (mit sehr vielen Anwendungsbereichen) eine sehr große Rolle. Dabei hat man es oft mit umfangreichen Gleichungssystemen mit möglicherweise auch sehr vielen Variablen zu tun. So müssen etwa für die Erstellung einer MRT-Aufnahme (Magnetoresonanztomographie) Gleichungssysteme mit tausenden von Unbekannten aufgelöst werden. Zum Glück müssen die Leute, die diese Technik in den Spitälern anwenden, nicht allzu viel Ahnung von der dahinter steckenden Mathematik haben.

Auch in vielen Bereichen von Technik, Finanzwirtschaft, Versicherungswesen etc. spielen Berechnungen mit umfangreichen Gleichungs- oder Ungleichungssystemen - auch etwa für Optimierungszwecke - eine ganz grundlegende Rolle.

Auf dem Blatt scheint alles in Ordnung zu sein. Leider wurde da aber nicht einmal die ursprüngliche Funktionsgleichung f(x) = a * e^(k*x) angegeben.

Und dann ist natürlich e^(10 k) / e^(k) = e^(10 k - k) = e^ (9 k)

(ganz normales Potenz-Rechengesetz ...)

Ich lasse eine Kamera am Ballon über die Wolkendecke steigen und bin gespannt, was für Bilder sie mir dann runterfunkt. Störlicht von unten wird jedenfalls kaum ein Problem sein.

Man muss darauf achten, welches die Grundgröße ist, welche den 100% entsprechen soll.

Im vorliegenden Fall ist es A, weil es heißt, T soll 5% größer als A sein.

Beachte:

"T ist um 5% größer als A" und "A ist um 5% kleiner als T"

beschreiben unterschiedliche Sachverhalte !

Aiwanger wäre für mich eher ein Grund zum weiter-Zappen - aber das hat nicht unbedingt mit seinem Dialekt zu tun.

Für eine Beantwortung dieser Frage wäre zuerst eine exakte Definition des Begriffs "Realität" erforderlich.

Dass die Definition eines "Jetzt" über große Entfernungen hinweg eigentlich nicht möglich (und auch nicht wirklich nutzbringend) sein kann, zeigte schon Albert Einstein in seinen Gedankenexperimenten anläßlich seiner Arbeiten zur Relativität von Raum und Zeit (bzw. Raumzeit).

https://www.einstein-online.info/spotlight/Jetzt/

Das ist nichts anderes als die vektorielle Beschreibung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung im Raum für ein Zeitintervall von t_0 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Der Vektor a_0 entspricht dem konstanten Beschleunigungsvektor.

Die Bezeichnungen sind Standard.

(1.) Meines Wissens gibt es (noch) keine solchen Menschen.

(2.) Auch wenn sich da dereinst solche "Probleme" ergeben würden, wären die jedenfalls um Größenordnungen kleiner als die Probleme, die sich schon seit langer Zeit auf der Erde mit "nicht resozialisierten" bzw. "nicht resozialisierbaren" Menschen angehäuft haben.

Nur die allerwichtigste Ressource: Brainpower (Intelligenz und Vernunft, um mit dem gesamten Energiehaushalt wesentlich effizienter und sparsamer umzugehen).

Vermutlich ist das ein "Hintergrundstern", der zufällig gerade sehr nahe bei Jupiter lag. Aufschluss könnte ev. eine Langzeitaufnahme (schwierig) oder besser eine Spektralanalyse liefern, oder aber: genaue Daten (Ort, Zeitpunkt, Rektaszension, Deklination) mit Sternkarte abgleichen.

Vor einigen Jahren verbrachte ich mal Ferien auf der Insel La Palma zur Zeit der Mandelblüte (Januar/Februar). Baden geht immer, Wandern auch. Auch die Sicht zum Himmel ist manchmal - aber nicht immer und überall - sehr gut. Auf dem Berg mit den Observatorien war ich natürlich auch - aber ob man da einfach so als Besucher willkommen wäre, bezweifle ich eher. So einen Besuch müsste man wohl im Voraus an geeigneter Stelle "einfädeln" und organisieren

Der fragliche Winkel würde dann am größten, wenn der Exoplanet seinem Stern am fernsten liegt, also e_max = a + e = 1.7 a und wenn gleichzeitig das Dreieck (Erde, Stern, Exoplanet) rechtwinklig ist, mit dem rechten Winkel beim Exoplaneten (was aber praktisch identisch wird wie mit dem rechten Winkel beim Stern).

Meine Rechnung ginge also so:

epsilon_max = arcsin(1.7 a / d_Stern) ≈ arctan(1.7 a / d_Stern) ≈ 1.7 a / d_Stern

(Näherungen praktisch perfekt wegen des so winzig kleinen Winkels)

Nicht ganz alle "hassen" das Kohlendioxid. Ich habe zum Beispiel in einer Druckflasche einige Kilo davon zuhause, damit ich aus Leitungswasser Sprudelwasser machen kann und also keine Mineralwasser-Harassen schleppen muss.

Soweit es um Kriege (auch Wirtschaftskriege) geht, muss man leider sagen, dass die heutige UNO (insbesondere mit dem Vetorecht einiger Atommächte) nicht mehr den aktuellen Erfordernissen entspricht. Sie zementiert den Macho-Charakter unserer Weltpolitik und schafft neue Kriege anstatt diese einzuschränken bzw. zu vermeiden.

Sie ist gerade und ungerade.

Man sollte das nicht als Widerspruch auffassen !

Wikipedia:

"Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion f(x) = 0."

Echte "Himmelsobjekte" (also Sterne und Planeten) ändern ihre Helligkeit nicht so schnell und unregelmäßig wie du berichtest. Was du da gesehen hast, ist also sehr wahrscheinlich ein atmosphärischer Effekt (ich würde mal auf ganz dünne Schleierwolken tippen).

Auch ein so "kleines" Leben kann unendlich reichhaltig und absolut lebenswert sein.