Frage von Willy1729Usermod Junior, 154

Sich berührende Kreise. Konstruktion?

Liebe Community, durch eine Frage hier auf GF bin ich auf das Problem sich berührender Kreise gestoßen.
Bitte betrachtet die angefügte Zeichnung.
Die Strecke AB ist der Durchmesser eines Kreises mit dem Radius r (hier: 4,5 cm) und dem Mittelpunkt M.
Auf derselben Strecke liegen die Mittelpunkte M1 und M2 zweier Kreise mit dem Radius r/2.
Nun gibt es einen dritten Kreis mit dem Mittelpunkt M3 und dem Radius x, der so beschaffen sein soll, daß er die Kreise um M1 und M2 von außen, sowie den Kreis um M von innen berührt.
Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks M1-M-M3 ist leicht zu berechnen, daß x=r/3, da gilt: (r/2)²+(r-x)²=(r/2+x)². Mein Problem war, ob es möglich ist, diesen Kreis (M3; x) auch durch eine Konstruktion zu finden. Meine Mathebücher ließen mich bezüglich dieser Frage im Stich, im Internet fand ich auch nichts Gescheites, so daß ich selbst ein wenig herumprobiert habe.
Meine Idee: Von M aus ziehe ich eine Senkrechte zu AB. Den Schnittpunkt mit Kreis (M;r) nenne ich E.
Ich verbinde A und B mit E, so daß ein gleichschenkliges Dreieck entsteht.
Nun ziehe ich Senkrechten durch M1 und M2 zu AB. Die Schnittpunkte mit den Kreisen um M1 und M2 verbinde ich mit einer Parallele zu AB. Die Schnittpunkte mit den beiden Strecke M1E und M2E nenne ich C und D.
So erhalte ich das Dreieck C-D-E. Dessen Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) ist M3, der Mittelpunkt des gesuchten Kreises (M3; x).
x ist hier 1,5 cm, also ein Drittel von r (4,5 cm), deckt sich also exakt mit dem errechneten Wert.
Kennt jemand von Euch diese Konstruktion? Haben diese sich berührenden Kreise einen bestimmten Namen? Weiß jemand, wieso ausgerechnet der Schwerpunkt des Dreiecks C-D-E der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ist?
Herzlichen Dank für Eure Antworten,
Willy

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ralphdieter, 68

Du schummelst!

Ich nenne die Kreise K, K1, K2 und K3. Die Gerade durch C und D heiße t.

E hat von AB den Abstand r, und von t den Abstand r/2. Deine Konstruktion findet nur einen Punkt S (=M3?) mit einem Drittel dieses Abstands r/2. Nun konstruierst Du den Schwerpunkt S eines beliebigen gleichschenkligen Dreiecks über t mit Spitze in E. Dieser Schwerpunkt teilt die Höhe r/2 im Verhältnis 1:2. Also |SE|=r/3. (Mit dem Strahlensatz hättest Du das auch erreicht.)

Deine Wahl von C und D ist willkürlich. Du hättest auch A und B statt M1 und M2 verwenden können, oder C und D auf K1 bzw. K2 oder beide auf K wählen können. Mir ist in keinem Fall geometrisch ersichtlich, warum S=M3 sein soll (rechnerisch passt das natürlich.)

So könnte es besser gehen:

  • E wie gegeben auf K über AB,
  • F liege auf K1 senkrecht unter M1.
  • EF schneide K1 in G.
  • M1G schneide ME in Z.

Behauptung: Z=M3.

Beweis: Dreieck M1FG ist gleichschenklig und ähnlich zu Dreieck ZEG. Also |ZE|=|ZG| q.e.d.

Kommentar von Willy1729 ,

C und D sind durchaus nicht willkürlich gewählt. Sie ergeben sich aus dem Schnittpunkt der gemeinsamen Tangente der beiden unteren Kreise, die parallel zur Strecke AB ist und den Verbindungen M1E und M2E ist. Alle diese Linien kannst Du zeichnen, wenn Du M3 noch nicht kennst. Der grüne Kreis und die beiden roten Kreise sind gegeben. Allein aus ihnen läßt sich das Dreieck CDE konstruieren, das somit kein beliebiges Dreieck ist. Erst mit Hilfe des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden dieses Dreiecks ergibt sich M3, der mit diesem Schnittpunkt - warum auch immer - identisch ist. Allerdings funktioniert die Methode wohl nur, wenn die beiden roten Kreise gleich groß sind, also den halben Radius des grünen Kreises besitzen.

Ich denke, das Problem hat etwas mit den Kreisen des Parrus zu tun, weiß aber nicht, ob es für diesen speziellen Fall noch einen besonderen Namen gibt.

Vielen Dank für die Rückmeldung. Die Herleitung über die Tatsache, daß sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 schneiden, ist einleuchtend.

Herzliche Grüße,

Willy


Kommentar von ralphdieter ,

C und D sind durchaus nicht willkürlich gewählt

  • Variante 1: AE und BE schneiden die gemeinsame Tangente t in C' und D'.
  • Variante 2: Seien C'' und D'' die Berührpunkte von t mit K1 bzw. K2.
  • Variante 3: t schneidet K in C''' und D'''.
  • Variante 4: Sei C'''' ein beliebiger Punkt auf t (der nicht auf ME liegt), und D'''' dessen Spiegelung an ME.

Jedes solche Punktepaar C*, D* bildet mit E ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schwerpunkt S (=M3) konstruierbar ist.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 39

https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem

hier unter "Literatur" und da unter "Apollonische Berührproblem" gibt es zu dem Thema eine Pdf-Datei; vielleicht interessant für dich;

ganz schön kompliziert, finde ich.

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo, Ellejolka,

vielen Dank für den Link. Ich war inzwischen auch schon darauf gestoßen. ein ähnliches Problem sind auch die Malfatti-Kreise, drei Kreise, die sich innerhalb eines Dreiecks berühren und über Hilfskreise und deren Tangenten zu konstruieren sind.

Meine Konstruktion funktioniert jedenfalls, wenn auch nur für diesen speziellen Fall, in dem die beiden Kreise unten gleich groß sind und halb so groß wie der große Kreis.

Es ist ein recht komplexes Gebiet. Kein Wunder, daß die normalen Mathebücher so etwas auslassen.

Willy

Antwort
von Comment0815, 56

Hallo Willy,

das ist mir zu hoch. Ich kann deiner Konstruktion zwar folgen, aber weiterhelfen kann ich dir leider nicht. Aber ich hab eine Frage an dich. Hoffentlich ist es nicht zu unpassend: Mit welchem Programm hast du die Grafik gezeichnet? Das würde mich sehr interessieren, da ich schon länger auf der Suche nach einem Programm bin, mit dem ich solche oder ähnliche Skizzen erstellen kann.

Viele Grüße, Matthias

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo, Matthias,

das Programm Z.u.L. (Zirkel und Lineal) findest Du hier:

http://car.rene-grothmann.de/doc_de/

Es handelt sich um ein kostenloses Java-Programm, das - wie ich finde - genial gemacht ist.

Mit ein wenig Einarbeitung wirst Du sehr viel Freude daran haben. Auf der angegeben Seite findet Du auch Tutorials zu dem Programm.

Ich benutze es für alle möglichen geometrischen Aufgaben.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Comment0815 ,

Super! Vielen Dank. =)

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