g ist Passante, wenn |PM| > r?
Sei K(M,r) ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r > 0. Beweisen Sie, dass eine Gerade g genau dann eine Passante für den Kreis K(M,r) ist, wenn für alle Punkte P auf der Geraden g gilt: |PM| > r.
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Ich habe mir bereits eine Skizze gemacht, um mir die Aufgabe etwas besser vorstellen zu können, allerdings weiß ich nicht, wie ich das rechnerisch oder so beweisen könnte.
Ich habe überlegt, ob ich mir einen Punkt auf den Kreis suche und diesen dann mit dem Mittelpunkt und einem Punkt auf der Geraden g zu einem Dreieck verbinde. Aber da ich nicht weiß, ob das Dreieck rechtwinklig ist, kann ich kein Pythagoras benutzen.
Hat jemand von euch eine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen könnte?
Danke
1 Antwort
Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die Abstandsgleichung für einen Punkt P auf der Geraden g zum Mittelpunkt M des Kreises zu verwenden.
Die Abstandsgleichung zwischen einem Punkt P(x,y) auf einer Geraden g und einem Punkt M(x0, y0) ist gegeben durch:
|PM| = |g| * abs( (x-x0)cos(a) + (y-y0)sin(a) )
Wobei a der Winkel ist, den die Gerade g mit der x-Achse bildet und |g| ist die Steigung der Gerade.
Da der Kreis K(M,r) einen Mittelpunkt M und einen Radius r hat, können wir den Abstand von jedem Punkt P auf der Geraden g zum Mittelpunkt des Kreises berechnen.
|PM| = sqrt( (x-x0)^2 + (y-y0)^2)
Wenn wir nun die Abstandsgleichung mit |PM|>r vergleichen, erhalten wir die Bedingung, dass eine Gerade g eine Passante für den Kreis K(M,r) ist, wenn für alle Punkte P auf der Geraden g gilt: |PM| > r.
Also um zusammenzufassen, die Gerade g ist Passante des Kreises K(M,r), wenn der Abstand von jedem Punkt auf der Geraden g zum Mittelpunkt des Kreises größer ist als der Radius des Kreises.