wieso funktioniert der Satz des pythagoras nur bei rechtwinkligen Dreiecken?

Der Kosinussatz wurde dir hier ja schon genannt.

Aber um auf deine Frage zurückzukommen:

Nimm an, du hast ein rechtwinkeliges Dreieck mit den rechten Winkel in C.

hier gilt nun a²+b² = c²

nun nimmst Punkt C und "ziehst" ihn ein Stückchen höher. Dadurch werden a und b größer (sagen wir a1 und a2), c bleibt aber gleich.

Würde Pythagoras jetzt noch stimmen, würde gelten: a1² + b1² = c² = a² + b²

also a1² + b1² = a² + b²

Da sowohl a1 größer als a ist, als auch b1 größer als b, kann dies nicht sein.

Mathematischer ausgedrückt: a1 = a+u; b1 = b+v mit u,v > 0

a1² + b1² = (a+u)² + (b+v)² = a² + 2ua + u² + b² + 2vb + v²

dies soll nun gleich sein a² + b²:

a² + 2ua + u² + b² + 2vb + v² = a² + b² | - (a² + b²)

2ua + u² + 2vb + v² = 0

Da alle Summanden hier > 0 sind (a und b sind Dreiecksseiten, sie können also nicht negativ sein), kann deren Summe nicht 0 ergeben!

Der Satz des Pythagoras ist eine Spezialisierung des Cosinussatzes:

c² = a² + b² - 2 a b cos Gamma

(Gamma ist der Winkel in C)

Wenn Gamma = 90° , dann ist cos Gamma = 0 und damit fällt - 2 a b cos Gamma weg und der Satz des Pythagoras bleibt übrig.

Das war die lange Antwort. Die kurze ist: Weil der Satz genau das beinhaltet.

" Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel in C hat, gilt ² + b² = c² "

Ich denke, du solltest dich erst mal fragen, warum der Satz des Pythagoras bei rechtwinkligen Dreiecken überhaupt funktioniert. Hier ist ein anschaulicher Beweis: https://www.mathestunde.com/satz-des-pythagoras-beweis-herleitung

Jetzt kannst du dir überlegen, was passieren würde, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig wäre, wie würde dann die Skizze aussehen?

Zeichne mal ein rechtwinkliges Dreieck A B C mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenuse c.

Und jetzt zeichne mal beliebig viele Punkte irgendwo verteilt auf dein Blatt und verbinde die jeweils mit der Hypotenuse c, so dass ganz viele neue Dreiecke entstehen, die alle die selbe Grundlinie c haben, aber ganz unterschiedliche Längen a und b

Und jetzt überleg mal selbst, ob bei ALLEN ganz unterschiedlich großen Dreiecken a²+b² immer dasselbe c² ergeben kann ;-)

Warum ist 1 und 2 zusammen 3? Weil es eben so ist!