Wie berechne ich die Umkehrfunktion aus -12x²?
y = -12x²
Daraus sollen wir die Umkehrfunktion (gespiegelte Funktion) berechnen. Wie ist das möglich? Geht das überhaupt? Müsste man da nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, was ja nicht definierbar wäre?
2 Antworten
Das Problem ist, dass y = -12x² gar keine Funktion ist! Das ist nur eine Funktionsgleichung, keine Funktion! Für eine Funktion fehlt noch die Angabe der Definitionsmenge und der Zielmenge!
Schreib die Aufgabenstellung nochmal möglichst wortwörtlich auf. Also, wenn die Aufgabenstellung aus einem Buch oder von einem Arbeitsblatt ist, wäre es evtl. sinnvoll uns ein Foto davon zu zeigen, da es so am einfachsten ist, nachzuvollziehen, was du vielleicht vergessen hast, zu erwähnen. [Wenn du die Aufgabe selbst aufgeschrieben hast, kann es natürlich sein, dass du Teile weggelassen oder nicht mitbekommen hast, was man dann nur schwer nachvollziehen kann.]
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Wenn in der Schule nichts weiter dazu gesagt wird, geht man in der Regel davon aus, dass der Definitionsbereich die größtmögliche Teilmenge der reellen Zahlen umfasst, für die der Funktionsterm sinnvolle reelle Werte liefert. Im konkreten Fall bei y = -12x² kann für x jede reelle Zahl problemlos einsetzen, sodass in der Schule dann üblicherweise der Definitionsbereich alle reelle Zahlen umfasst. Die Funktion wäre dementsprechend...
Davon gibt es nicht „die“ Umkehrfunktion der durch y = -12x² gegebenen reellen Funktion (also mit den gesamten reellen Zahlen als Definitionsbereich).
Denn diese Funktion ist gar nicht bijektiv (also nicht umkehrbar), da sie nicht injektiv ist. Beispielsweise erhält man bei x = -1 und bei x = 1 den gleichen Funktionswert y = -12.
Ist vielleicht in der Aufgabenstellung der Definitionsbereich eingeschränkt worden, dass man y = -12x² beispielsweise nur für nicht-negative reelle Zahlen x betrachten soll?
Wenn man die Definitionsmenge (und Zielmenge) entsprechend einschränkt, dass die Funktion umkehrbar wird, könne man beispielsweise die Funktion...
... betrachten. Diese wäre umkehrbar mit Umkehrfunktion...
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Müsste man da nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, was ja nicht definierbar wäre?
Nein, nicht unbedingt. Das kommt eben darauf an, wie Definitions- und Zielmenge der Funktion aussehen, was du hier leider nicht angegeben hast.
Beachte, dass -12x² für jede reelle Zahl x einen nicht-positiven Wert liefert. Dementsprechend liegen nur nicht-positive y-Werte im Bildbereich der Funktion. Wenn man entsprechend auch nur diese nicht-positiven reellen Zahlen als Zielmenge hat, hat man beim Bilden der Umkehrfunktion auch kein Problem mit Wurzeln aus negativen Zahlen denn...
Für nicht-positive Werte y ist -1/12 ⋅ y jeweils eine nicht-negative Zahl. Und aus nicht-negativen Zahlen kann man doch problemlos die Wurzel ziehen.
Was hier stattdessen noch viel eher das Problem ist, ist, dass der x-Wert hier an fast jeder Stelle nicht eindeutig ist. Es ist sowohl ein positiver als auch ein negativer x-Wert möglich. Dementsprechend ist die Funktion nicht eindeutig umkehrbar.
Es kommt drauf an zu welchem Zahlenbereich y gehört. Wenn es eine komplexe Zahl ist, kannst Du auch eine Wurzel ziehen.
Für komplexe Zahlen darf gelten: x² + 1 = 0
