3. Wurzel?
Wie kann man die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen (mit den komplexen Zahlen)?
Geht das überhaupt mit den komplexen Zahlen?
4 Antworten
Du müsstest zuerst die 3. Wurzel der negativen (reellen Zahl) als komplexe Zahl mit Imaginärteil 0 betrachten und in die Polardarstellung überführen. Nun schauen wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln zieht. Die n. Wurzel einer komplexen Zahl ziehen liefert n Ergebnisse.
cbrt(-a)
= cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...
=(aexp(i•(pi+k•pi)))^(1/3)
k=0 a) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(0pi)/3))
k=1 b) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+pi/3))
k=2 c) =cbrt(a)*exp(i•((pi/3)+(2pi)/3))
Das sind nun die 3 3. Wurzeln der Zahl -a
a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)
b) cbrt(a)•exp(i•(2pi/3))
c) cbrt(a)•exp(i•pi)
Sorry, ich habe einen Fehler gemacht,
cbrt(-aexp(i•(pi+k•pi)) , k=0,1,...
lautet eigentlich
cbrt(-aexp(i•(pi+k•2pi)) , k=0,1,..
Somit ergeben sich für die drei Lösungen die Formeln
a) cbrt(a)•exp(i•(pi/3)
b) cbrt(a)•exp(i•pi)
und
c) cbrt(a)•exp(i•(5pi)/3)
Zum Beispiel:
Nehmen wir die dritte Wurzel aus -27.
cbrt(27) kommt in allen Lösungen vor und ist 3. Somit lauten die Lösungen:
a) 3*exp(i*(pi/3))
b) 3*exp(i*pi)
c) 3*exp(i*(5pi)/3)
Alle komplexen Zahlen haben den selben Betrag (3) und unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Argumente (pi/3), (pi) und ((5pi)/3).
Aus der Polardarstellung kann man nun wieder zurück zur kartesischen Darstellung mit
|z|*exp(i*arg(z))=z*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z))
Die dritten Wurzeln von (-27) sind also ungefähr
a) 3*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3)) = 3*(0.5+i*0.87) = 1.5+2.6i
b) 3*(cos(pi)+i*sin(pi) = 3*(-1+i*0) = -3
und
c) 3*(cos((5pi)/3)+i*sin((5pi)/3) = 3*(0.5+i*-0.87) = 1.5-2.6i
Trägst du diese 3 Zahlen auf der gaußschen Zahlenebene auf, liegen sie interessanterweise alle auf einem Kreis jeweils maximal voneinander entfernt.
Genauso, wie du die dritte Wurzel aus einer positiven Zahl ziehst (wie bereits erwähnt, brauchst du dafür keine komplexen Zahlen). Beispiele:
dritte Wurzel aus 8 = 2 ----> dritte Wurzel aus -8 = -2
dritte Wurzel aus 27 = 3 ----> dritte Wurzel aus -27 = -3
dritte Wurzel aus 74,088 = 4,2 ----> dritte Wurzel aus -74,088 = -4.2
Wenn du also die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl berechnen willst, berechnest du die dritte Wurzel aus ihrem positiven Gegenstück und setzt ein Minus davor.
Aus negativen Zahlen kann man aber nicht die Wurzel ziehen.
Die Quadratwurzel nicht, aber die dritte Wurzel schon: -2 mal -2 mal -2 = -8
---> dritte Wurzel aus -8 = -2
Eine der 3 Wurzeln ist die reelle Zahl
- 3.Wurzel(|x|)
Die anderen beiden Lösungen haben den gleichen Betrag, aber ein Argument das um 120° größer bzw. kleiner ist als das der ersten Lösung.
Nein, für die dritte Wurzel (und ganz allgemein für
ungerade Wurzeln) brauchst du keine
komplexen Zahlen. Die dritte Wurzel aus -8 ist -2.
Aus negativen Zahlen kann man aber nicht die Wurzel ziehen.
Keine geraden Wurzeln, also die 2., 4,, ... Wurzel.
Ungerade doch - du kannst dir das klarmachen,
indem du -2^3 ausrechnest, das gibt -8.
Also ist umgekehrt die dritte Wurzel aus -8 -2.
Nein. In den reellen Zahlen ist überhaupt keine Wurzel aus einer negativen Zahl definiert, auch keine ungerade Wurzel.
Das Wurzelzeichen gilt nur für positive Wurzeln aus positiven Zahlen und für die Null.
Willst Du Wurzeln aus negativen Zahlen haben, mußt Du auch für die reellen Lösungen einen Ausflug zu den komplexen Zahlen machen.
Reicht das erstmal?: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen
Willst Du Wurzeln aus negativen Zahlen haben, mußt Du auch für die reellen Lösungen einen Ausflug zu den komplexen Zahlen machen.
Und wie kann man mit den komplexen Zahlen die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
Über die Trigonometrie.
Die Länge des Zeigers zur Wurzel entspricht der n-ten Wurzel des Betrages der Zeigerlänge des Radikanden.
Der Winkel des Zeigers des Radikanden wird durch n geteilt. So erhältst Du die erste Wurzel. Die Wurzeln 2 bis n bekommst Du, indem Du jeweils 360/n Grad addierst, bis Du wieder beim Startpunkt angelangt bist.
Die Wurzeln aus einer komplexen Zahl bilden ein regelmäßiges n-Eck auf einem Kreis mit einem Radius, der der n-ten Wurzel des Betrages des Radikanden entspricht.
Es gilt folgender Zusammenhang:
a+bi=r*(cos (phi)+i*sin (phi)), wobei r der Betrag der komplexen Zahl ist und phi der Winkel, den der Zeiger zu ihr zur reellen Achse besitzt.
Die Zahl liegt auf der reellen Achse links vom Nullpunkt. Der Abstand zum Nullpunkt entspricht der 3. Wurzel aus 64, also 4.
Der Radius des Kreises, auf dem die drei Wurzeln liegen, ist also 4.
Der Winkel ist 180° (gilt für alle negativen Zahlen, deren imaginärer Anteil 0 ist, die positiven haben einen Winkel von 0°).
Da Du die 3. Wurzel ziehst, liegt der Anfangswinkel bei 180/3=60°.
Die beiden anderen bekommst Du, wenn Du 60° um jeweils 120° erhöhst, also bei 180° (hier liegt die -4) und bei 300°.
Du kommst also auf die drei Wurzeln 4*(cos (60°)+i*sin (60°))=2+2*Wurzel (3)i.
Setzt Du statt 60° 180° ein, bekommst Du -4.
Für 300° dann -4-2*Wurzel (3)i.
Alle drei Wurzeln ergeben mit 3 potenziert wieder -64.
Ja, manche lassen negative Radikanden bei ungeraden Wurzeln zu. Das geht ja auch. Hier gibt es schließlich keine Probleme bei der Äquivalenzumformung.
Ist dann halt blöd bei a^(1/x) bei negativen a. Bei ungeraden x bekommst Du dann Ergebnisse, bei geraden nicht. Läßt Du nur nichtnegtive a als Basis zu, ist das Ding stetig. (Außer bei x=0 natürlich).
a soll eine reelle Zahl sein.