Wie berechne ich den Winkel (Alpha) element [0, 2Pi), für den sowohl der Sinus- als auch der Kosinuswert bekannt sind?
Ich steh ultra auf dem Schlauch. Ich weiß zwar, dass man den Winkel mit dem arcsin bzw. arccos herausfinden kann, versteh aber nicht, wie diese Ergebnisse herauskommen können.
Hier sind meine Aufgaben, die bearbeiten muss + die Lösung.
a) sin(Alpha) = 0, 100; cos(Alpha) = 0, 995;
b) sin(Alpha) = −0, 706; cos(Alpha) = 0, 709;
c) sin(Alpha) = 0, 909; cos(Alpha) = −0, 416;
d) sin(Alpha) = −0, 872; cos(Alpha) = −0, 490.
Ergebnis: Es ergibt sich: a) Alpha = 0, 1; b) Alpha = 5, 5; c) Alpha = 2, 0; d) Alpha = 4, 2.
Ich würde gerne verstehen, wie man z.B. bei der b) auf 5,5 kommt
6 Antworten
Ein möglicher Lösungsweg:
G = Gegenkathete
A = Ankathete
H = Hypothenuse
sin(a) = G / H
cos(a) = A / H
tan(a) = G / A
-> sin(a) / cos(a) = tan(a)
Oder man weiss das auswendig, dann muss man es sich nicht mehr herleiten...
-> arctan ( sin(a) / cos(a) ) = a
Nach oben genannter Formel:
a = arctan (-0.706 / 0.709) = -44.88° = -0.78 (Radiant)
-0.78 + 2pi = 5.5
Ok und wie berechne ich den Bogenmaß aus dem Gradmaß? :D
Sorry, ich bin nicht gerade eine Leuchte in Mathe :D
Kreisumfang in Bogenmass = 2pi
Kreisumfang in Gradmass = 360 °
-> x (Radiant) = x° / 360° * 2pi
Ok vielen Dank :) jetzt hab ich es begriffen :D
aber über asin() oder acos() hat man trotzdem einen rechenschritt weniger :D bzw weniger in den TR einzugeben
Korrekt wäre eigentlich:
arctan( sin(a) / cos(a) ) + n*pi = a
Da der Tangens ja pi-periodisch ist.
Mit dem Arkussinus bzw Arkuscosinus. Auf dem Taschenrechner steht oft auch sin^(-1) oder cos^(-1)
also ist beispielsweise
alpha= asin(sin(alpha))
Ja aber was mach ich, wenn ich z.B. für sin(Alpha)= -0,706 und für cos(Alpha)= 0,709 gegeben hab.
Laut dem Lösungsblatt kommt Alpha = 5,5 raus, aber das versteh ich nicht
sin α = -0,706 ⇔ α = sin⁻¹(-0,706) ≈ -0,7838 ≈ -44,91°
Für die zweite Gleichung:
cos α = 0,709 ⇔ α = cos⁻¹(0,709) ≈ 0,7827 ≈ 44,85°
ja aber wie komm ich dann auf 5,5.
Sorry, aber ich bin nicht gerade eine Leuchte in Mathe :D
merkt man :D:D
-44,91° inst die Angabe in Grad um in Bogenmaß umzurechnen macht man einen simplen 3satz, bzw in kurz:
5,5*180/pi
Jetzt hab ich es endlich begriffen :D Danke :D
kein Problem :D:D
siehst du, Mathe ist so schön einfach, weil es so schön logisch ist :D:D
Die Sinusfunktion nimmt auf dem Interval [0,2pi) jeden Wert zwischen -1 und 1 genau zweimal ein. Das heißt zu jedem Wert zwischen -1 und 1 gibt es zwei verschiedene Winkel aus [0,2pi), deren Sinus der gegebene Wert ist. Für das Beispiel b) gilt (gerundet):
sin(5.499) = -0.706 und sin(3.925) = -0.706
Die meisten Taschenrechner geben einem bei sin^-1 einen Winkel aus (-pi/2, pi/2] zurück. Hier z.B sin^-1(-0.706) = -0.784. Man erhält in diesem Fall dann einen Winkel aus [0,2pi) indem man 2pi addiert, also
0.784 + 2pi = 5.499
Den anderen erhält man durch die Gleichung sin(x) = sin(pi-x). Hier also
pi - -0.784 = pi + 0.784 = 3.925
Wenn es also einen Winkel aus [0,2pi) gibt, der beide Gleichungen erfüllt, dann muss es 5.499 oder 3.925 sein. Bei einem von beiden ist der Kosinus positiv, beim anderen negativ. Hier ist cos(5.499) = 0.708. Das soll dann wohl (gerundet) die Lösung sein.
Du hast gegeben:
sin α = -0,706
cos α = 0,709
Für die Bestimmung von α reicht dir eigentlich schon eine der beiden Gleichungen, ich nehme hier mal die erste:
sin α = -0,706 ⇔ α = sin⁻¹(-0,706) ≈ -0,7838 ≈ -44,91°
Für die zweite Gleichung:
cos α = 0,709 ⇔ α = cos⁻¹(0,709) ≈ 0,7827 ≈ 44,85°
Die Rechenungenauigkeit mal außer Acht gelassen, sind lediglich die Beträge der Winkel (fast) gleich groß.
LG Willibergi
Wie kommt dann mein Dozent auf die Lösung Alpha=5.5? Laut junkpilepunk ist das der Winkelmaß im Bogenmaß, aber wie mach ich das?
5,5 im Bogenmaß wären knapp 315,1° im Gradmaß. In dem Sinne also auch nicht richtig.
Wenn dein Dozent behauptet, sin α = -0,706 ⇔ α = 5,5, dann behauptet er Schwachsinn. ;)
Im Trigonometrischen Kreis kannst Du sehen wie Sinus und Kosinus in den jeweiligen Quadranten sind.
Du siehst Sinus hat einen negativen Wert und Kosinus einen positiven Wert.
Nun in welchem Quadrant ist Sinus - und Kosinus + (kannst Du aus meinen 2 hinzugefügten Bildern entnehmen.
Ja es ist im 4. oder (IV:) Quadrant).
Der winkel liegt also im 4 Quadrant also zwischen 1,5∏ (270°) und 2∏ (360°).
Die Werte die Du also für cos^(-1) und sin^(-1) kriegst musst Du zu 270 dazuzählen, oder von 360° abziehen.
Du krigst zum Beispiel sin^(-1) von -0,706 = 44,9° ~ 45° = ∏ / 4 = 0,25∏
also 1,5∏+ 0,25∏ = 1,75∏ = 1,75 * 3,14 = 5,5 RAD. (heißt Radiant)
Ja aber was mach ich, wenn ich z.B. für sin(Alpha)= -0,706 und für cos(Alpha)= 0,709 gegeben hab.
Laut dem Lösungsblatt kommt Alpha = 5,5 raus, aber das versteh ich nicht