Welcher Punkt der Ebene wird getroffen?

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe!

Ein Lichtstrahl aus Punkt A (1/1/-9) ist auf den Punkt B (-2/4/6) gerichtet. Welcher Punkt der von den Punkten P1 (-1/3/5) , P2 (-8/8/2) , P3 (13/-7/3) aufgespannten Ebene wird von diesem lichtstrahl getroffen?

Answer 1

[Wechselfreund]

Wenn dir die Lösung von Willy1729 nicht zusagt, kannst du auch die Normalendarstellung der Ebene aufstellen, die Komponenten der Geradengleichung da einsetzen und den Parameter der Geradengleichung bestimmen.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

konstruiere aus Punkt A und B die Punkt-Richtungsform einer Geraden, indem Du A als Stützpunkt nimmst und B-A als Stützvektor:

g: A+r*(B-A)

Ähnlich erstellt Du die Punkt-Richtungsform der Ebene:

E: P1+s*(P2-P1)+t*(P3-P1)

Um den Schnittpunkt zwischen der Geraden (dem Lichtstrahl) und der Ebene zu finden, mußt Du beide nur noch gleichsetzen und das so entstandene Gleichungssystem z.B.mit dem Gaußverfahren lösen.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[Rhenane]

Zuerst stellst Du die Geradengleichung in Parameterform auf, indem Du einen der Ortsvektoren als Stützvektor nimmst, und die Differenz aus A und B als Richtungsvektor.

also z. B.: Stützvektor=(1|1|-9); Richtungsvektor=(-2-1|4-1|6-(-9))=(-3|3|15)
[A-B als Richtungsvektor ginge auch]
=> Geradengleichung: x=(1|1|-9)+r * (-3|3|15)

Jetzt musst die Punkte prüfen, indem für jeden Punkt 3 Gleichungen aufstellst und das r ausrechnest. Ist es bei allen Gleichungen gleich, dann liegt der entsprechende Punkt auf der Geraden:

Punkt P1: (-1|3|5)=(1|1|-9)+r * (-3|3|15)
=>   (I) -1=1-3r  (II) 3=1+3r  (III) 5=-9+15r
<=> (I)  r=2/3    (II) r=2/3     (III) r=14/15  => P1 liegt nicht auf der Geraden

jetzt noch P2 und P3 prüfen...

Comments

[Rhenane]

Ups, da habe ich wohl in meinem Hirn die Aufgabenstellung etwas umgeschrieben. Hatte nur noch "Gerade und 3 Punkte" vor Augen. Aber Willy hat ja schon beschrieben, wie es nach Aufstellen der Geraden mit der Ebene weitergeht...