Die Menge {p0, p1, p2, p3} bildet eine Basis des Vektorraums II3?

Hallo, ich übe grade für eine Mathe Klausur und soll sagen ob das stimmt und es dann begründen:

Die Menge {p0, p1, p2, p3} bildet eine Basis des Vektorraums II3 der Polynome vom Höchstgrad 3, wobei p0(x) = 3, p1(x) = 3 + 2x, p2 (x) = 3-4x+x^2, p3 (x) = x^3.

Ich weiß, dass eine Menge eine Basis bildet, wenn die Vektoren linear unabhängig voneinander sind, jedoch weiß ich nicht wie ich hier vorgehen muss, weil es keine Vektoren sind.

Answer 1

[KimMell]

Polynome sind Vektoren und sowieso, wenn du einen erzeugten Unterraum von einer Familie betrachtest.

Du hast ja die Familie F := (3, 3+2X, 3-4X+X^2, X^3) gegeben

Betrachten wir das ganze aus Sicht der Standardbasis für den Raum aller Polynome vom Grad 3 oder weniger: E := (1, X, X^2, X^3)

Wir können für alle Vektoren in F Koordinaten bezüglich der Standardbasis finden:

3 = (3,0,0,0)_E, 3+2X = (3,2,0,0)_E, 3-4X+X^2 = (3,-4,1,0)_E, X^3 = (0,0,0,1)_E

Es sind also alle Vektoren aus F in <E> enthalten, also ist <F> zumindest ein Unterraum von <E>

Es ist dim_R(<E>) = 4

Wenn wir jetzt noch zeigen, dass auch dim_R(<F>) = 4 ist, dann wissen wir, dass F eine Basis von <F> ist und <F> = <E> ist.

Hier kannst du jetzt die Koordinatendarstellung bezüglich der Standardbasis nutzen und auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.

Ich mache das mit der Determinante:

$\det\left(\left(3,0,0,0\right)^T,\left(3,2,0,0\right)^T,\left(3,-4,1,0\right)^T,\left(0,0,0,1\right)^T\right)=6\ne0$

Answer 2

[davebot]

Du hast hier vllt keine üblichen vektoren aber Polynome.

Allgemein gilt die gleiche Regel, dass bei linear unabhängigen Polynomen jedes Polynom mit P(beliebig) = ap0 +bp1 +cp2 +dp3 darstellen lässt und a, b, c, d ein eindeutiges Ergebnis liefern. P(beliebig) wird glaub meistens auf 0 gesetzt, damit lässt sich das leichter beweisen. Dass die polynome voneinander linear unabhängig sind, sieht man aber auch sehr schnell daran, dass p3 ein Polynom 3. Grades ist, p2 ein Polynom 2. Grades, etc. Die können gar nicht linear abhängig sein, weshalb alle polynome alle linear unabhängig untereinander sind

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ehemaliger Mathestudent & War schon immer ein Zahlenfreund

Answer 3

[Willibergi]

Vektoren müssen keine Zahlentupel sein. Als Vektoren werden einfach die Elemente eines Vektorraums bezeichnet und wenn der Vektorraum ein Funktionenraum ist, sind die Vektoren eben Funktionen.

Gegeben sind die vier Polynome:

$p_0: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto 3$ $p_1: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto 3 + 2x$ $p_2: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto 3 - 4x + x^2$ $p_3: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto x^3$

Allgemein gilt ja für Vektoren v_1, ..., v_n eines beliebigen K-Vektorraums:

$v_1, \ldots, v_n \text{ linear unabhängig} \iff$

$\displaystyle\forall \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K: \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \implies \alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0\right)$

gilt.

1. Nimm dir also vier Skalare aus dem Vektorraum, bilde daraus eine Linearkombination der vier gegebenen Vektoren.
2. Nimm an, dass die Linearkombination null ergibt (d.h. das Nullelement im Vektorraum, im Funktionenraum also die Nullfunktion) und zeige, dass dann folgt, dass alle Skalare null (hier ist das Nullelement im zugrundeliegenden Körper gemeint!) sind.

Also:

$\text{Seien } \alpha_1, \ldots, \alpha_4 \in \mathbb R \text.$ $\text{Gelte } \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3 + \alpha_4 p_4 = \mathbf 0 \text.$

Lass dir das kurz auf der Zunge zergehen, was wir hier annehmen. Die Summe der mit den Skalaren gewichteten Vektoren p_1 bis p_4 ergibt die Nullfunktion (ich habe die Nullfunktion mal als fette Null gekennzeichnet, um sie von der reellen Zahl 0 (also hier der Null im zugrundeliegenden Körper) zu unterscheiden).

Mit der Nullfunktion ist die Funktion

$\mathbf 0: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto 0$

gemeint.

Funktionen sind gleich, wenn sie für alle Werte in ihrem Definitionsbereich (hier IR) dieselben Werte annehmen. Für Funktionen f, g ist f = g genau dann wenn f(x) = g(x) für alle x.

$\text{Das heißt, } \forall x \in \mathbb R: (\alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3 + \alpha_4 p_4)(x) = \mathbf 0(x)\text.$

Der Funktionswert der Summe von Funktionen ist definiert als die Summe der Funktionswerte und rechts steht natürlich unabhängig von x der Wert 0 (denn 0(x) = 0 für alle x).

$\text{Also } \forall x \in \mathbb R: \alpha_1 p_1(x) + \alpha_2 p_2(x) + \alpha_3 p_3(x) + \alpha_4 p_4(x) = 0\text.$

Jetzt kannst du mal die Funktionen einsetzen und dir überlegen, was es heißt, wenn die Linearkombination für alle x null ergibt. Natürlich muss das heißen, dass

$\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0$

denn da wollen wir ja hin, aber das erfordert noch eine Begründung.

Answer 4

[DerRoll]

Polynome sind Vektoren. Die Standardbasis des Raums der Polynome vom Höchstgrad n ist {1, x, x^2, ..., x^n}

Die Polynome die du beannt hast sind genau dann linear unabhängig wenn nur die triviale Linearkombination das Nullpolynom ergibt. Beachte hierbei, das du nicht mittels Linearkombination zwischen den Potenzen hin und her springen kannst. D.h. du kannst nicht von x zu x^2 oder umgekehrt kommen. Denn die Teilpolynome werden nur mit Skalaren und nicht mit "xen" multipliziert. Das führt dazu dass du die "xe" und ihre Potenzen einfach weglassen kannst und lediglich mit deren Koeffizienten rechnen mußt. Damit hast du auf einmal wieder die dir bekannten Vektoren verfügbar.

Beispiel: p1 kannst du schreiben als (3, 2, 0, 0)^T

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.