Welche Rechtsform hat das Jugendamt, bzw. Die Verwaltung davon? Oder gibt es dort keine Rechtsform?

Das Jugendamt ist eine Behörde und deren Rechtsform ist in Deutschland die einer Körperschaften des öffentlichen Rechts

Das ist eine Behörde. Sie arbeitet nach öffentlich-rechtlichen Grundsätzen, hat aber in jedem Fall hoheitliche Aufgaben und Befugnisse.

Behörden wie z.B. das Jugendamt sind Organe einer Gebietskörperschaft.

Es gibt keine Rechtsform in dem Sinne.

Öffentliche Verwaltung ist öffentliche Verwaltung.

Man kann aber von juristischer Person reden, allerdings ist das dann eher in der Fiskalverwaltung angesiedelt.