Was ist die korrekte Operatorpräzedenz/Operatorrangfolge für die Prädikatenlogik?
Ich bin hier etwas verwirrt, weil ich kann leider nirgendswo finden, wie die Operatoren genau geklammert werden, d.h. welche stärker und welche schwächer bindet. Aus der Aussagenlogik ist mir folgende Reihenfolge bekannt, die auch überall zu stimmen scheint:
- Negation
- Konjunktion
- Disjunktion
- Entweder-Oder
- Implikation
- Äquivalenz
Wie sieht es jetzt aber in der Prädikatenlogik aus? Binden hier der Allquantor und der Existenzquantor jetzt stärker als die Negation oder schwächer als die Äquivalenz? Ich hoffe jemand weiß hier von einer einheitlichen Definition.
Ein Bild.
1 Antwort
Das beißt sich ja überhaupt nicht, weil Quantoren eine andere Formelstruktur erzeugen als die Operatoren. Ein Quantor bindet so wenig wie möglich, aber so viel wie nötig. So kann man es sich denke ich ganz gut vorstellen.
Man beachte die auftretende Verschattung in der ersten Formel. Das "Quantor-x" bezieht sich nur auf das x in A(x).
LG
Okay, jetzt habe ich doch wieder ein Problem. In meinem Skript steht folgendes:
Der entsprechende Syntaxbaum zeigt mir jetzt hier, dass ganz oben steht. Dann unten drunter das Symbol für Konjunktion, wobei der linke Ast dann P(x) enthält und der rechte Ast wiederum meinen Existenzquantor unter dem Q(x,y) hängt. Ich habe mal oben ein Bild angehängt. Ich verstehe das irgendwie nicht. Weil auf der Wikipedia Seite unter "Beispiele" bei Beispiel 2 steht es wieder komplett anders: https://de.wikipedia.org/wiki/Freie_Variable_und_gebundene_Variable#Beispiele -- Hier wird irgendwie jetzt gesagt, dass x einmal gebunden und einmal x nicht gebunden sei. Ich bin jetzt verwirrt.
Wo hast du den Syntaxbaum denn her?
Letztlich ist es eine Definitionssache. Ich kann auch definieren, dass mein Allquantor auf alles bis zum Zeilenende wirkt oder bis zum nächsten roten Strich, wenn ich das möchte (macht man aber normalerweise nicht). Das hängt also natürlich vor allem davon ab, wie du/ihr/dein Prof das definiert hat - wir sprechen hier ja jetzt nur über die übliche Definition. In deinem Beispiel ist das x in P(x) gebunden und das x in P(x,y) frei. Vielleicht war da jemand einfach nachlässig beim Aufschreiben und der Teil nach dem Allquantor sollte eigentlich in Klammern stehen.
Der Syntaxbaum ist aus meinem Skript, aus dem Mathe-Vorkurs. Den Skopus bzw. Gültigkeitsbereich (das ist der Teil des prädikatenlogischen Ausdrucks, auf den sich ein Quantor bezieht) wurde im Skript wie folgt definiert:
"Den Teil eines prädikatenlogischen Ausdrucks, auf den sich ein Quantor bezieht, nennt man seinen Gültigkeitsbereich. Es ist der längst mögliche sinnvolle Ausdruck nach dem Doppelpunkt"
Oder wie man in der Vorlesung gesagt hat: Der Quantor nimmt sich praktisch alles. Wollen wir das nicht, müssen wir explizit klammern.
Na dann ist es doch zumindest klar, wenn auch keine so übliche Definition. Dann würde sich im ersten Beispiel in meiner Antwort der Allquantor auf die ganze Konjunktion beziehen und beide x wären gebunden.
Das bedeutet also, dass im ersten Fall das x in A(x) gebunden ist und das x in B(x) ungebunden bzw. frei ist, richtig?