Allquantor und Existenzquantor, die Aussagen beschreiben und negieren?

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verreisterNutzer
11.10.2018, 16:21

Hallo, myronaldo.

Wenn du a) verstehst, solltest du b) eigentlich sofort nachvollziehen können. Zunächst einmal die Bedeutung. (Es hilft auch oft, wenn du dir konkrete Fälle und Beispiele raussuchst) Ich verwende jetzt für a) mal die Menge der natürlichen Zahlen, damit wir hier konkreter werden.

a) bedeutet natürlichsprachlich also ausgedrückt: "Es gibt eine natürliche Zahl a für die gilt, dass für alle natürlichen Zahlen b gilt, dass a kleiner oder gleich b ist."

Im Prinzip also: Mindestens eine natürliche Zahl a ist kleiner oder gleich aller natürlichen Zahlen b. (Natürlich ist das Unsinn, denn bspw. die Fälle a = 1 und b = 0 oder a = 2 und b = 1 zeigen ja, dass das nicht zutrifft. Für die Fälle aber, in denen b immer größer oder gleich a ist, wäre das Prädikat dagegen wahr)

Du solltest dich vielleicht schon etwas mit DeMorgan vertraut gemacht haben, denn so ähnlich läuft das hier auch ab. Wenn wir Quantoren negieren, dann bilden sie ihr Gegenstück. Negieren wir also Existenzquantoren, dann werden diese zu Allquantoren.

Aber auch die Prädikate werden dann negiert, d.h. der Negationsoperator wirkt praktisch bis zum Prädikat durch und erst dann ist die Negation vollständig abgeschlossen. Ein kurzes Beispiel:

∀a ∈ N : a = 2

Die Negation sähe zunächst so aus:

¬∀a ∈ N : a = 2

Man kann es zwar so lassen, ist aber noch nicht fertig. Zweiter Schritt:

∃a ∈ N : ¬(a = 2)

Jetzt erst kommt der letzte Schritt, in dem wir die Negation der Gleichheit aufschreiben:

∃a ∈ N : a != 2

(!= bedeutet hier ungleich)

Wenn wir also sagen, dass für alle natürlichen Zahlen a gilt, dass a = 2 zu falsch auswertet, dann gibt es natürlich mindestens eine natürliche Zahl a für die gilt, dass a != 2 wiederum erfüllt ist, d.h. zu wahr auswertet.

In deinem konkreten Fall a) suchen wir also folgendes:

"Es gibt keine natürliche Zahl a für die gilt, dass für alle natürlichen Zahlen b gilt, dass a kleiner oder gleich b ist." -- Also, wenn es KEINE natürliche Zahl a gibt, die für alle natürlichen Zahlen b das Prädikat a <= b erfüllt:

¬∃a : ∀b : a <= b

Zweiter Schritt: (Wenn es keine natürliche Zahl a gibt, die für alle natürlichen Zahlen b das Prädikat a <= b erfüllt, dann heißt das natürlich auch weiter übersetzt, dass für alle natürlichen Zahlen a, das Prädikat a <= b nicht für alle natürlichen Zahlen von b erfüllt wird)

∀a : ¬∀b : a <= b

Dritter Schritt: (Weiter übersetzt heißt das dann auch, dass es für alle natürlichen Zahlen a mindestens eine natürliche Zahl b geben muss, für die das Prädikat a <= b ja nicht erfüllt ist.... )

∀a : ∃b : ¬(a <= b)

Vierter Schritt: (.... und das sind natürlich nur die Fälle, in denen a größer als b ist. Denn a <= b wird nur dann falsch, wenn eben a > b)

∀a : ∃b : a > b

(Anmerkung: Ich habe jetzt natürlich das "∈ N" für deine Aufgabe a) weggelassen. Für mein Beispiel müsste man das natürlich noch dazu schreiben)

MfG,
Tarek701