Mathematik - Äquivalenzumformung, ja oder nein?
Ich habe gehört, dass das Radizieren (Wurzelziehen) keine Äquivalenzumformung sei, im folgenden Beispiel also folgendes gelte:
(x²=4) <=> (|x|=2)
Das impliziert also, dass x=2 oder x=-2, also
(x²=4) <=> (|x|=2) => ((x=2) v (x=-2)).
Aber wenn x=2 oder x=-2, impliziert das doch auch, dass der Betrag von x nur 2 sein kann, womit auch
(x²=4) <=> (|x|=2) <= ((x=2) v (x=-2)) gilt.
Da die Implikation in beide Richtungen geht, ist es äquivalent, also
(x²=4) <=> (|x|=2) <=> ((x=2) v (x=-2)).
Ist das richtig?
Bedeutet, dass das Radizieren eine Äquivalenzumformung ist?
Viele Grüße
Jan
Wo ist bei dir "radizieren" bzw. was verstehst du darunter? Eine Quadratwurzel ist immer positiv.
Radizieren meint das Wurzelziehen. Die Quadratwurzel aus 9 ist gleich 3. Ich habe also 9 (quadratisch) radiziert und erhalte 3.
3 Antworten
Radizieren ist in komplexen (der Welt der komplexen Zahlen) eine Äquivalenzumformung, da:
sqrt(x) = sqrt(x * e^{2kπi}) = sqrt(x) * sqrt(e^{2kπi}) = sqrt(x) * (e^{2kπi})^{1 / 2} = sqrt(x) * e^{kπi} = sqrt(x) * (cos(kπ) + i * sin(kπ) = sqrt(x) * ±1 = ±sqrt(x) (k als ganze Zahl)
(für gerade k folgt:)
sqrt(x) * (cos(0) + i * sin(0) = sqrt(x) * 1 = sqrt(x)
(für ungerade k folgt:)
sqrt(x) * (cos(π) + i * sin(π) = sqrt(x) * -1 = -sqrt(x)
Also:
sqrt(x) = ±sqrt(x)
(für alle x ≥ 0)
Der Beweis für alle Zahlen ist etwas komplexer aber machbar. Es beruht darauf daß das Argument von x halbiert wird, also das "+2kπi" zu "+kπi" wird...:
sqrt(x) = sqrt(|x| * e^{arg(x) * i + 2kπi}) = sqrt(x) * sqrt(e^{arg(x) * i + 2kπi}) = sqrt(|x|) * (e^{arg(x) * i + 2kπi})^{1 / 2} = sqrt(|x|) * e^{arg(x) / 2 * i + kπi} = sqrt(|x|) * (cos(arg(x) + kπ) + i * sin(arg(x) + kπ) = sqrt(|x|) * ±1 = ±sqrt(x) (k als ganze Zahl)
Also:
sqrt(x) = ±sqrt(x)
Das mit den Betrag lernt man zwar in der Schule, jedoch das richtige radizieren nicht.
Das mit den Betrag stimmt nur in reellen in komplexen ist das falsch...
Aus Ihrer Berechnung geht also nicht hervor, dass radizieren eine Äquivalenzumformung ist.
Können Sie nochmal in Worten beschreiben, warum Radizieren äquivalent ist? Habe es noch nicht so ganz verstanden :)
Hallo,
das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, das Wurzelziehen schon, weil die Wurzel so definiert ist, daß es keine Unklarheiten gibt.
Die Wurzel aus 9 ist 3 und nichts anderes. Quadrierst Du die 3, landest Du wieder bei der 9.
Anders siehst es beim Quadrieren aus: (-3)²=9. Willst Du das aber rückgängig machen, indem Du die Wurzel ziehst, landest Du bei 3, nicht bei -3.
Du siehst einer Zahl nach dem Quadrieren nicht an, ob sie vor dem Quadrieren negativ oder positiv war.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Wurzel ist so definiert, daß nur die +3 als Wurzel von 9 gilt, nicht die -3. Das gilt in R nicht nur in der Schulmathematik.
Dagegen hat die Gleichung x²=9 die beiden Lösungen ±3.
Aber in C hat es die zwei Lösungen.
Das ist zwar nicht das worauf der Fragensteller hinaus wollte, aber Mathe macht Spaß. :3
In C gibt es bei Wurzeln keine Einschränkungen. Da gibt es immer n n-te Wurzeln.
Ja ok... aber im komplexen gibt es ja zu der n-ten Wurzel immer n Lösungen. Bei geraden Exponenten sind nur eben zwei dieser Lösungen reell (irgendeine Zahl und deren inverses Element), weswegen man dann die verkürzte Schreibweise "±" eingeführt hat. Dies habe ich ja auch nicht bestritten, habe es sogar auch so hingeschrieben.
Man hat aber die Konvention (solange man zumindestens bei reellen Zahlen ist), dass die n-te Wurzel (mit n∈{x∈IN: 2|x}) einer Zahl, nur den Betrag liefert. So bleiben nämlich alle Lösungen erhalten, denn aus der Fallunterscheidung folgt die gesamte Lösungsmenge.
Bsp.: |x|=5
1. Fall (x>0)v(x=0): x=5
2. Fall x<0: x=–5, da |–5|=5
Zusammengefasst schreibt man dann: x=±5
Verstehen Sie mich nicht falsch, ich will und kann Ihnen nicht widersprechen, aber es war für mich leider keine befriedigende Antwort auf meine Frage :(
Danke trotzdem für die schnelle Antwort :)
ich kenne es nur so : Im Allgemeinen ist sie es nicht ,daher testet man die Lösungen auf Scheinlösungen...........aber damit ist wohl das Quadrieren gemeint.
Naja...
Streng mathematisch gesehen ist die Wurzel aus 9 ±3, da
Aber mit Schulmathematik haben Sie natürlich Recht. :3