Unterschied Prädikatenlogik und Aussagenlogik?

Ich habe 2 Fragen:

1. Sei B ein Prädikat auf den natürlichen Zahlen und es gelte

$B\left(3\right)\ \wedge\forall n\ \in\mathbb{N}.\left(B\left(n\right)\ \Rightarrow B\left(n+1\right)\right)$ Geben sie an, ob man daraus

$\forall n\in\mathbb{N}.B\left(n\right)$ schließen kann.

2 . Sei B eine logische Aussage über natürliche Zahlen und es gelte

$B\left(3\right)\ \wedge\text{}\forall n\ \in\mathbb{N}.B\left(n\right)\ \Rightarrow B\left(n+1\right)$ Kann man daraus

$\forall n\in\mathbb{N}.B\left(n\right)$ schließen.

Ich bin mir relativ sicher das man bei der Aussagen Logik nicht auf jedes B(n) schließen kann da man ja immer nur auf den Nachfolger schließen kann nie auf den Vorgänger. Somit kann ich ja theoretisch nicht auf B(1) und B(2) schließen.

Aber wie sieht es beim Prädikat aus?

Answer 1

[Nacktkaempfer]

Mit Aussagenlogik hat das Ganze gar nichts zu tun. Es handelt sich hier um Prädikatenlogik erster Stufe mit mengentheoretischen Konstanten.

Der Schluß in 1. ist nicht gültig, da der Induktionsanfang B(3) ist und man daher nicht auf B(1) und (B2) schließen kann, wie Du ja selber richtig schreibst (und auch nicht auf B(0), falls 0 hier zu den natürlichen Zahlen gezählt wird).

Was 2. betrifft, so müßtest Du erst mal definieren, was Du unter einer "logischen Aussage" verstehst. Soll das eine Aussage mit einer freien Variable sein? Was bezeichnet dann aber das "n" in B(n+1)? Wenn ich das richtig sehe, ist der Unterschied zwischen 1. und 2. ja der, daß in 1. der Allquantor Skopus über die ganze materiale Implikation hat und somit alle Vorkommen von "n" bindet, während in 2. der allquantifizierte Ausdruck den Vordersatz der materialen Implikation darstellt, wodurch das "n" im Nachsatz frei ist. Das ergibt irgendwie keinen Sinn.