Warum ist diese Aussage falsch, mit Gegenbeispiel?
Hallo liebe Community,
ich habe diese Abbildung f: A -> B.
Die Mengen C und D sind Teilmengen von A. Meine Aussage ist folgende:
Diese Aussage soll aber angeblich falsch sein. Und mir wurde gesagt, dass ich das durch ein Gegenbeispiel zeigen kann.
Mein Problem ist aber, dass ich erstens kein wirkliches Gegenbeispiel finden kann und zweitens, denke ich, dass die Aussage wahr ist, aber das ist sie anscheinend nicht.
Ich habe das dann so probiert:
C = {0, 1, 2} und D = {3, 4}
Dann habe ich das eingesetzt in die Abbildung.
Und kam dann aber nicht weiter. Ich glaube halt, dass es was damit zu tun hat, dass wenn man dann das Bild ausrechnet, dass man daraus dann schließen kann, dass es eine falsche Aussage ist.
Aber um ehrlich zu sein, weiß ich auch nicht genau wie man das Bild ausrechnet. Ich weiß, dass beim ausrechnen des Bildes, wieder eine Menge rauskommt und dann würde da ja folgendes stehen:
Und dann sind diese Mengen wahrscheinlich nicht gleich. Aber ich hake daran wie man das Bild ausrechnet.
Könnte mir evtl. jemand ein Beispiel rechnen oder mir erklären, wie ich durch ein Gegenbeispiel zeigen kann, dass meine Aussage nicht wahr ist. Weil irgendwie dachte ich halt eigentlich, dass meine Aussage oben wahr ist.
Um was für eine Funktion handelt es sich bei f?
Es ist keine Funktion gegeben, es ist nur gegeben f: A->B.
2 Antworten
Wie bereits in meiner Nachfrage beschrieben, hängt es von der Abbildung f ab, ob die Aussage nun stimmt oder nicht. (Allgemein stimmt sie aber sicher nicht)
Wenn f z.B. die Identität ist (d.h. alle Teilmengen werden auf dieselben Teilmengen abgebildet.) dann stimmt die Aussage offensichtlich
Wenn f z.B. auf {1} abbildet, wenn das Argument nicht die leere Menge ist und auf {0} abbildet, wenn das Argument die leere Menge ist, dann folgt für A = {{1},{2}}, C = {1} und D = {2}
Ich habe doch geschrieben, dass die Aussage allgemein nicht stimmt. Und mein zweites Beispiel ist eben ein Gegenbeispiel dafür. Die Aussage kann für geeignete f's durchaus wahr sein.
Auch sind meine vorgeschlagenen A, B nicht die leere Menge.
Achso shit ich bin dumm. Ich habe halt die Aufgabe komplett missverstanden. In der Aufgabe wurde gesagt: Diese Aussage ist im allgemeinen falsch, finden Sie ein Gegenbeispiel. Ich habe die ganze Zeit nach einem Beispiel gesucht, dass die Aussage wirklich falsch ist. Aber eigentlich soll ich ja ein Beispiel finden, dass zeigt, dass die Aussage auch manchmal wahr sein kann. Achsoo.
Okay vielen Dank für deine Antwort.
Trotzdem verstehe ich deine Antwort leider noch nicht komplett.
f(C u D) = leere Menge
Verstehe ich.
Aber f(leere Menge) = 0 verstehe ich um ehrlich zu sein nicht mehr
Ich verstehe dann halt wieder, dass f(C) u f(D) = leere Menge ist und somit ist f(C U D) = f(C) u f(D).
Dann ist halt die Aussage wieder wahr und somit ist das ein Gegenbeispiel dafür, dass die Aussage im allgemeinen falsch ist. Aber ich verstehe auch noch nicht so ganz warum diese aussage im allgemeinen falsch ist.
Also die Aussage ist ja im allgemeinen falsch. Ich finde zwar gerade kein Beispiel wo die Aussage falsch ist aber okay.
Dann soll ich ja dazu ein Gegenbeispiel finden, also ein Beispiel in dem die Aussage wahr ist.
Da habe ich jetzt z.B. C = {1, 2, 3} und D = {2, 3, 4} genommen und als Funktion habe ich f(x) = x genommen.
Somit ist f(C u D) = {2, 3}.
f(C) = {1, 2, 3} und f(D) = {2, 3, 4}
Somit ist f(C) u f(D) = {2, 3}
Da zwei Mengen immer dann gleich sind wenn sie die selben Elemente enthalten, gilt bei C = {1, 2, 3}, D = {2, 3, 4} und f(x) = x folgendes: f(C u D) = f(C) u f(D).
Ist das richtig so? Ansich ja schon, aber ich habe immer noch ein Problem damit zu verstehen, dass diese Aussage im allgemeinen falsch ist. Bei mir ist die bei allen Fällen die ich bereits ausprobiert habe wahr.
In deinem letzten Kommentar benutzt du für f die Identität. Da stimmt die Aussage wieder, wie ich schon in meiner ursprünglichen Antwort geschrieben habe.
Ein f, wo es nicht funktioniert ist z. B. f(X) = {0}, wenn X = leere Menge und f(X) = {1} wenn X =/= leere Menge.
Jetzt probier mit C = {1} und D = {2} den Widerspruch zu finden
Wenn wir die Mengen C = {1} und D = {2} haben und für f(x) = x^0
Dann wäre f(C u D) = leere Menge
f(C) = 1 und f(D) = 1
somit ist (f(C) u f(D)) = {1} und damit ist durch ein Gegenbeispiel gezeigt, dass
f(C u D) = f(C) u f(D) nicht immer wahr ist. Und somit ist gezeigt, dass es allgemein falsch ist.
Ist das richtig so?
Oh man ich verwechsel immer die Zeichen sorry. Ich meine die Schnittmenge.
Fast. f(C n D) = f(leere Menge) = {0}.
Daher: f(C n D) = {0} =/= {1} = f(C) n f(D)
f(x) = x^0
Was das heißen soll, weiß ich nicht. Aber der Rest deines Kommentars ist korrekt.
Kein Problem, ich hab's schon verstanden. Ich verwende für die Schnittmenge "n".
Ich habe halt gedacht, dass ich eine Abbildung bzw. Funktion finden muss in der die Aussage nicht korrekt ist. Und da habe ich gedacht, dass meine Funktion x hoch 0 ist, und dass ist dann ja immer 1 egal welches x man einsetzt.
Also habe ich sozusagen gesagt meine Abbildung ist R -> R mit x -> x hoch 0.
Oder halt einfach f(x) = 1. Also, dass die Abbildung halt immer auf 1 abbildet, egal welchen Wert man einsetzt.
Die Abbildung ist mit
f(X) = {0}, wenn X = leere Menge und f(X) = {1} wenn X =/= leere Menge.
Eindeutig definiert. Da musst du keine "einzelne" Abbildungsvorschrift finden (Stichwort abschnittsweise definierte Funktionen)
Aber ich kann dir gerne ein intuitiveres/besseres Gegenbeispiel anbieten
Sei f(x) = x^2, A = {-2,1,2} und B = {4,1}.
Betrachte C = {-2,1} und D = {1,2}
f(C n D) = f({1}) = {1}
Aber f(C) n f(D) = {1,4} n {1,4} = {1, 4}
Okay vielen Dank.
Ich arbeite leider noch nicht sehr lange, mit dieser "abstrakteren" Mathematik und bin noch sehr die Schulmathematik gewöhnt, die sich schon sehr zu der Uni Mathematik unterscheidet, deswegen verstehe ich die Probleme meist besser, wenn ich sie etwas runterbreche auf Dinge die ich aus der Schule kenne.
Bei den Beweisen usw. bin ich mir halt nie so sicher.
Zum Beispiel habe ich hier eine so ähnliche Aussage bewiesen, es wäre echt nett wenn du mal schauen könntest ob ich das richtig gemacht habe und mir evtl. sagst ob ich einen Fehler gemacht habe.
Da ich in Kommentaren leider kein Bild hochladen kann, habe ich es mal Online hochgeladen: https://postimg.cc/nCd291y4
Ist wirklich nur das Bild, also musst keine Angst haben, dass da irgendwas passiert wenn du den Link anklickst :)
Also bei dem Bild sind C und D wieder Teilmengen von A. Und die Abbildung ist f: A-> B
Die Idee ist gut. Der Beweis schlägt aber fehl, weil f(x) = x im Allgemeinen nicht gilt. Ich will damit sagen, dass nicht dasselbe Element im Bild liegen muss. Z. B. Für f(x) = 1 ist f(2) =/=2.
Du kannst deinen Beweis aber reparieren, indem du die Definition einer Funktion anwendest, nämlich dass für alle x aus (C u D) ein y aus f(C u D) gibt, sodass gilt: f(x) = y.
Im Beweis ersetzt du also alle x, die du fälschlicherweise dem Bild zuordnest durch ein y.
Außerdem ist die vorletzte Zeile mathematisch nicht richtig. Die kannst du weglassen. Das Ausklammern findet bereits von der 4. auf die 6. Zeile statt.
Der Rest stimmt.
Zeichne dir ein Venn-Diagramm:
A enthält die Teilmengen C und D. C = {2, 3}, D={3, 4} => C∩D={3}.
B={6,7}
Was passiert bei f(2):=6, f(3):=7, f(4):=6?
Aber bei dir ist doch gerade die Aussage wahr. Aber wie mach ich denn ein Gegenbeispiel so dass die Aussage falsch ist?
Und A, B sich nicht leere Menge.