Fallunterscheidung Logik?
Guten Tag,
uns wurde beigebracht, dass wenn wir disjunkt verknüpfte Aussage haben und eine Implikation z.z. haben, dann müssen wir eine Fallunterscheidung machen z.B. bei Einmal a ist wahr und b ist falsch und umgekehrt zu betrachten.
Wie sieht es nun aber mit dem Fall aus, dass (exklusives oder)
In diesem Fall wäre diese Art des Nachweises doch nichtig, oder?
4 Antworten
Um die Aussage zu beweisen, muss man zeigen, dass q sowohl aus a als auch aus b folgt, also sowohlals auchbeweisen. Das kann man als Fallunterscheidung innerhalb des Gesamtbeweises ansehen.
Um zu beweisen, dass entweder Aussage a oder Aussage b gilt, muss man beweisen, dass mindestens eine der beiden Aussagen gilt, und zusätzlich, dass nicht beide Aussagen zugleich gelten.
Um zu beweisen, dass aus "entweder a oder b" die Aussage q folgt, dass also gilt, hat man beide Konjunktionsglieder als Prämissen zur Verfügung. Beweistechnisch ist es oft einfacher, statt dessen zu beweisen. Dann ist die Prämisse wieder eine Disjunktion und man kann wie oben beschrieben vorgehen.
Eine Frage noch, es gilt doch prinzipiell nicht (a v b) =/=> (a und b) v (nicht a und b) , daher kann man davon doch nicht einfach ausgehen oder?
Bei einem exklusiven Oder (XOR) hast du auch nur zwei Eingangsparameter a und b. Du brauchst auch hier nur 4 Fälle unterscheiden:
a wahr, b wahr
a wahr, b falsch
a falsch, b wahr
a falsch, b falsch
(Den ersten Teil meiner Antwort habe ich heraus editiert, weil er falsch war.)
Bei deinem Beispiel mit XOR finde ich nirgends eine Implikation von daher gibt es auch keine Fallunterscheidung sondern einfach eine Wahrheitstabelle.
Du solltest dir die Frage stellen, wieso bei a ∨ b ⇒q eine Fallunt. nötig ist
Natürlich gibt es keine Implikation. Ich meine lediglich, wenn ich diese Behauptung aufstellen würde und sie mit diesem Mittel beweisen wollte (das ist bei uns als allgemeine Beweismethode für solche Fälle definiert), dann würde es die Implikation als wahr "beweisen", obwohl das nicht der Fall ist.
Mir ist an sich bewusst, warum für a v b => q eine Fallunterscheidung nötig ist, zumindest denke ich das.
Fallunterscheidungen triffst Du immer dann, wenn Du eine Wahrheitstafel aufstellst.
Auf einer Wahrheitstafel gibst Du an, für welche Kombination der Wahrheitswerte der elementaren Aussagen die komplexe Aussage wahr bzw. falsch wird (Evaluation der komplexen Aussage).
Die Zahl der zu treffenden Fallunterscheidungen berechnest Du wie folgt:
[Zahl der Wahrheitswerte] potenziert mit [Zahl der elementaren Aussagen]
In einer bivalenten Logik erhältst Du für Deine Beispiele: 2³ = 8 Fallunterscheidungen
Mir ist das Prinzip von Wahrheitstafeln durchaus klar. Jedoch benutzt man ab einem gewissen Punkt ja eigentlich kaum mehr Wahrheitstafeln und mir geht es hier eher um die Grundsatzfrage, warum muss man nicht auch den Fall a und b betrachten?